Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
его горизонтальное поднятие на расслоение Y -> X посредством связности Г
на У. В этом случае слабое равенство (2.14) приобретает форму
[s" + + (аАг; + ^Аадд,А] & + эх [ттх(У1 - г;) - бх2*] "о. (2.17)
На решениях s уравнений Эйлера-Лагранжа первого порядка тождество (2.17)
превращается в дифференциальный закон сохранения
[5" + г;а + (аАг; + ?АВДс>А] & + ^ [^\(Щ к о, (2.18)
где
= [x.V, - rj.) - 6х2?]
- это канонический тензор энергии-импульса относительно связности Г.
74
Глава 2. Геометрическая теория поля
Пример 2.1.3. Если выбрать локальную тривиальную связность Г), = 0, закон
сохранения (2.18) сведется к известному закону сохранения
обычного канонического тензора энергии-импульса
= (2.19)
который однако является глобально плохо определенным объектом. На
пространстве Минковского компонента ,5го0 тензора (2.19) интерпретируется
как выражение для энергии поля s. ?
§2. Калибровочная теория
С математической точки зрения объектами калибровочной теории являются
связности на главных расслоениях и сечения ассоциированных расслоений.
Исторически калибровочная теория основывалась на так называемом
калибровочном принципе, который требовал инвариантность лагранжиана полей
относительно преобразований симметрий с параметрами, зависящими от
пространственно-временных координат. Главным следствием этого условия
является замена в лагранжиане полей операторов частных производных д" на
операторы ковариантных производных
дц - А(tm) (х)1т,
где 1т - генераторы данной группы симметрий, а Л(tm) - калибровочные
потенциалы.
Истории калибровочной теории посвящена обширная литература и мы не будем
касаться этих вопросов. Калибровочный принцип во многом утратил свое
былое значение после того, как была предложена математическая модель
калибровочных потенциалов как связностей на главных расслоениях. Более
того, калибровочный принцип в большинстве случаев недостаточен для
построения калибровочных моделей. Говоря математическим языком, он
фиксирует только структурную группу расслоения. Но, например, касательное
расслоение ТХ (с которым ассоциированы все другие расслоения в теории
гравитации) нельзя охарактеризовать лишь как векторное расслоение над X
со структурной группой GL(n, Е). Его ключевое отличие от других таких
расслоений над многообразием X состоит в том, что оно обладает голономным
атласом. Кроме того его структурная группа редуцируема к своей подгруппе,
что в физической интерпретации является признаком так называемого
спонтанного нарушения симметрий. Традиционный калибровочный принцип этого
не учитывает.
В то же время все современные модели фундаментальных взаимодействия
являются моделями с нарушенными симметриями, что позволяет, например,
используя механизм Хиггса, генерировать массы частиц. Поэтому сейчас
требование инвариантности относительно калибровочных, да и обычных
преобразований симметрий не представляется уже столь абсолютным, как два
десятилетия назад.
В геометрическом подходе, чтобы адекватно задать полевую модель,
требуется фиксировать расслоение Y -" X, сечениями которого являются
описываемые поля, и ввести на нем связности. На многообразии струй J'Y
этого расслоения.строится лагранжиан (2.1). В теории поля все лагранжианы
являются полиномиальными (как правило, квадратичными или аффинными)
формами по координатам скоростей у\. Так как расслоение струй J'Y - Y
является аффинным расслоением, моделируемым над векторным
§ 2. Калибровочная теория
75
расслоением (1.48), всякий лагранжиан теории поля представляет собой
композицию сначала отображения аффинного расслоения J[Y -* Y в векторное
расслоение (1.48), а потом дифференциальной формы на этом векторном
расслоении, т. е.
L : JlY -?->T'X<g)VY -> j\T*X, (2.20)
к
где D - ковариантный дифференциал (1.73) относительно некоторой связности
на расслоении F-*I.
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением калибровочной теории
ненарушенных внутренних симметрий.
Пусть тгР : Р -* X - главное расслоение со структурной группой G
внутренних симметрий. Последнее означает, что эта группа не является
какой-либо структурной группой касательного расслоения ТХ над базой X.
Под X мы будем понимать 4-мерное ориентируемое многообразие, наделенное
невырожденной метрикой дИ" и в касательном и кокасательном расслоениях
над X Как и в Примере 2.1.1, обозначим д = det^,,). В калибровочной
теории только внутренних симметрий, метрика д не является динамической
переменной и рассматривается как внешнее (своего рода параметрическое)
поле.
Калибровочные потенциалы, отвечающие группе симметрий G, отождествляются
со связностями на главном расслоении Р и представляются глобальными
сечениями А расслоения связностей С = J'P/G (1.89) с координатами (хИ,
А.-"1) такими, что
(fc(tm) о A)(z) = А"(х)
- коэффициенты локальной 1-формы связности. Расслоение С можно наделить
связностями (1.95):
SB?x = \ [cZkUl + д"в? + дхВ(tm) - акв'х + KBl)} - К\Х(В(tm) - kj).
Конфигурационным пространством калибровочных потенциалов является
