Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
лагранжиан регулярен, локальная лагран-жева связность для него всегда
существует.
Пусть локальная лагранжева связность Г для лагранжиана L существует и
имеет интегральное сечение s расслоения J'Y -* X, т. е. струйное
продолжение J's сечения s принимает значения в Ker g'L:
g'L о j's = 0.
Тогда сечение six", yJ) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
Эйлера- Лагранжа первого порядка, отвечающих лагранжиану L:
dxs' =s\, (2.8а)
di& - (дх + з{д3 + dxsidpd?J2" = 0. (2.8b)
Эта система дифференциальные уравнения первого порядка в свою очередь
эквивалентна системе дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа второго
порядка
- (дх + dxsjdj + dxd^d'-)dtv = 0 (2.9)
для сечения s(xu) расслоения Y -> X, второе струйное продолжение J2s
которого принимает значения в ядре оператора Эйлера-Лагранжа второго
порядка %L:
О J2S = 0.
Действительно, пусть s - сечение расслоения J'Y -+ X, струйное
продолжение J's которого лежит в полуголономном многообразии струй J^Y.
Согласно Предложению 1.5.3 существует сечение s расслоения Y -* X такое,
что
s = Jls (2.10)
и, как это следует из определения операторов Эйлера-Лагранжа первого и
второго порядков, выполняется соотношение
О j's.= g- О J2S.
В силу этого соотношения каждое решение s уравнений (2.9) задает решение
J's уравнений (2.8а) и (2.8Ь). Обратно, всякое решение s уравнений (2.8а)
и (2.8Ь) принимает вид (2.10), где s - решение уравнений (2.9).
72
Глава 2. Геометрическая теория поля
Пример 2.1.2. Рассмотрим лагранжиан (2.2) из Примера 2.1.1. Имеем
соответствующие алгебраические уравнения Эйлера-Лагранжа
дх (/" V\g\) У" + Гх"дх* у/\д\ = О,
дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа первого порядка
дд s = sx,
За (5А"\/Ы)^ + dxstlgx>'y/\g\ = О (2Л1)
и дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа второго порядка
За d"s + dxd^sg** у/\д\ = 0. (2.12)
Легко убедиться, что системы дифференциальных уравнений (2Л1) и
(2.12) эквивалент-
ны. ?
Исследуем теперь законы сохранения, т. е. своего рода интегралы движения,
которые можно получить в лагранжевом формализме на решениях уравнений
Эйлера-Лагранжа. Существуют разные типы законов сохранения. Мы
ограничимся дифференциальными лагранжевыми законами сохранения, которые
следует из свойства инвариантности лагранжиана относительно тех или иных
преобразований и выражаются как условие на дивергенцию некоторой
величины. Такие законы сохранения получаются вычислением производной
Ли лагранжиана вдоль соответствующего векторного поля.
Причем,
поскольку лагранжиан определен на многообразии струй, векторное поле
должно быть тоже поднято на многообразие струй.
Пусть и - проектируемое векторное поле на расслоении Y -* X и и - его
поднятие (1.52) на многообразие струй J'Y -> X. Нам потребуется его
каноническое горизонтальное расщепление. Поэтому рассмотрим
индуцированное из и векторное поле на повторном многообразии струй J'J'Y
посредством проекции тги. Будем обозначать его, как это практикуется для
индуцированных конструкций, тем же символом и. Тогда его каноническое
горизонтальное расщепление (1.57) (где роль расслоения Y играет
расслоение J'Y -<> X) дается выражением
й = йн + = их (дх + у\Х)д{ + у'^д?) + [(и* - ywux)di + " - у'^Ж] .
Пусть L - лагранжиан (2.1) на многообразии струй J'Y расслоения Y -* X.
Рассмотрим его индукцию на полуголономное многообразие струй J*Y,
обозначив ее тем же символом L. Вычислив производную Ли L^L внешней
горизонтальной плотности L в явном виде по формуле (1.40), получим
Ln-i = дхих & + [щАдл + udi + (дхи' + yidjU - y'ttdxu'')dx]^ -= 5Л[ТГА(и'
- u^yl) + их+ uv j ^,
где ^
дх = дх + ухд{ + у^хд^
означает оператор полной производной по координате хх.
§ 1. Лагранжев формализм
73
При ограничении на ядро оператора Эйлера-Лагранжа первого порядка (2.6),
выражение (2.13) приводится к тождеству
dxuxJ/'+[uxdx + udi + {дхи + у{д5и - y'lldxull)dx]JX7 к дх[тгх (и - и^у^)
+ uxS/'], (2.14)
где значком "и" обозначается так называемое слабое равенство по модулю
уравнений Эйлера-Лагранжа. На решениях s уравнений Эйлера-Лагранжа
первого порядка (2.8а) и (2.8Ь) слабое тождество (2.14) превращается в
дифференциальный закон сохранения
5*1[Vi(u^-u)-ux&]w. (2.15)
ахх
В теории поля обычно рассматриваются два типа дифференциальных законов
сохранения (2.15) - законы сохранения токов симметрий и тензора энергии-
импульса.
Пусть и = игд{ - вертикальное векторное поле на расслоении Y -> X. Тогда
тождество (2.14) принимает вид
[ид{ + (дхи + у{д^г)дх] 2? и дх(ижх).
Если
L^L = О,
то левая сторона этого тождества обращается в 0 и закон сохранения (2.15)
на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа первого порядка сводится к слабому
закону сохранения
[wSr-A] ~ 0 <2Л6)
так называемого тока симметрий
Д" ="Srf,
отвечающего вертикальному векторному полю и. В калибровочной теории,
например, это - известные тождества Нетер (см. следующий параграф).
Пусть теперь т = тхдх - произвольное векторное поле на базе X и
гг = т"(с>,, + г;д)
