Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
как внешняя
§ 1. Лагранжев формализм
69
горизонтальная плотность
L = ?'(x*,yi,yi,)u, (2.1)
L : JlY -+}\Т*Х,
на расслоении JlY -+ X. Это означает, что многообразие струй JlY
расслоения Y играет роль своего рода конфигурационного пространства
полей, представляемых сечениями расслоения Y -> X. Очень важно, что это
конфигурационное пространство конечномерно и с ним можно манипулировать,
как с обычным многообразием.
Коэффициентная функция формы (2.1) называется функцией Лагранжа, хотя она
на самом деле не является функцией и при преобразованиях координат
делится на якобиан преобразования координат (хм). В дальнейшем будет
удобно использовать обозначения
ТГ,А = д\2'.
Лагранжиан L называется регулярным или невырожденным, если его гессиан
отличен от нуля во всех точках многообразия струй J[Y.
Пример 2.1.1. Рассмотрим тривиальное линейное расслоение
из Примера 1.5.1 с координатами (хА, у). Глобальное сечение этого
расслоения может быть интерпретировано как вещественное скалярное поле на
многообразии X. Конфигурационным пространством этих полей является
многообразие струй
J'Y =Т'Х х Е
с координатами (хА, у, ух). Стандартный лагранжиан вещественного
безмассового скалярного поля на этом конфигурационном пространстве
принимает вид
L = ^ 9Xt'(x)yxyfl y/\g\w, (2.2)
где g - некоторая невырожденная метрика в кокасательном расслоении
Т'Х и g = det(g).
Этот лагранжиан является регулярным. ?
Мы не будем здесь углубляться в проблематику вариационной задачи (см.
Приложение А). Отметим только, что в лагранжевом формализме высших
порядков при ее решении обычно рассматривают не сам лагранжиан, а его так
называемый Lepagean эквивалент. В лагранжевом формализме первого порядка
в качестве такого эквивалента обычно выбирают форму Пуанкаре-Картона. Это
внешняя горизонтальная n-форма на расслоении струй JlY -+ К, которая
имеет координатный вид
Ех = 7ГАdy' Awi + (J?- ж- у'х)ш. (2.3)
С ней связаны уравнения Картана и уравнения Де Дондера-Гамильтона,
которые в
определенной мере, хотя и не полностью, эквивалентны (например, для
регулярных лагранжианов) уравнениям Эйлера-Лагранжа. Рассмотрением
последних мы и ограничимся.
В лагранжевом формализме первого порядка имеются три типа уравнений
Эйлера- Лагранжа:
70
Глава 2. Геометрическая теория поля
• алгебраические уравнения Эйлера-Лагранжа для сечений повторного
расслоения струй j'j'Y -+ J'Y,
• уравнения Эйлера-Лагранжа первого порядка для сечений расслоения J'Y -
*¦ X,
• уравнения Эйлера-Лагранжа второго порядка для сечений собственно
расслоения Y - X.
Мы не станем обращаться к вариационному способу построения уравнений
Эйлера- Лагранжа, а получим эти уравнения, исходя из условия на ядро
оператора Эйлера- Лагранжа.
Оператор Эйлера-Лагранжа, отвечающий лагранжиану L, может быть введен как
дифференциальный оператор второго порядка
WL : J2Y -> д' T'Y
Y
так называемого вариационного типа. Однако мы его построим как
ограничение на многообразие струй второго порядка J2Y некоторой внешней
формы Аь, заданной на повторном многообразии струй J'J'Y. Именно эта
форма является лагранжевым партнером оператора Гамильтона в
многоимпульсном гамильтоново формализме.
Всякий лагранжиан L (2.1) наделяет многообразие струй J'Y векторнозначной
по-лисимплектической формой
ilL = dir* A dy' А ш (r) dx- (2.4)
Индуцируя форму (2.4) и форму Пуанкаре-Картана (2.3) на повторное
многообразие струй J'J'Y посредством проекции 7г,, (1.59), построим
упомянутую выше внешнюю форму на j'j'Y:
Аь = daL - A j SlL = (у[Х) - у\) d^ Aw+Й- dxdl)-Z'dy А ш, (2.5)
где _
А = dxx (r) дх, дх = дх + ywd, + yl\д*.
Назовем ее производящей формой. Ее сужение на полуголономное многообразие
струй TY определяет дифференциальный оператор первого порядка
82 : TY 7\Vr,
J'Y
&l = [#; ~ (дх + у{д] + ylxdj)d,A] .X'dy' А ш, (2.6)
на расслоении j'Y -" X. Он называется оператором Эйлера-Лагранжа первого
порядка.
Ограничение производящей формы (2.5) на многообразие струй второго
порядка J2Y определяет дифференциальный оператор второго порядка на самом
расслоении Y -> X. Он именуется оператором Эйлера-Лагранжа второго
порядка и задается тем же самым выражением, что и (2.6), но с
симметричными координатами ускорений у^х = 2/v-
Пусть задан лагранжиан L (2.1). Связность
Y = dx'(r) (дх+у\д<+?"хд?)'
§ 1. Лагранжев формализм
71
на расслоении J'y -¦ X со значениями в T'Y называется лагранжевой
связностью для L, если она принимает значения в ядре Кег^ оператора
Эйлера-Лагранжа (2.6):
Г = 0,
а& - {дх + yidj + Г^хд?)д-^ = 0. (2.7)
Уравнения (2.7) можно интерпретировать как систему линейных
алгебраических уравнений Эйлера-Лагранжа для компонент r*lA(il/, yj, yl)
лагранжевой связности.
Заметим, что существование решений алгебраических уравнений (2.7)
является необходимым условием существования решений дифференциальных
уравнений Эйлера- Лагранжа. Это условие можно исследовать стандартными
методами теории линейных алгебраических уравнений. В частности, если
