Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующими координатами (1.44):
СЛ К, КхУ (1-9D
В калибровочной теории многообразие струй J'C расслоения связностей С
играет роль конечномерного конфигурационного пространства калибровочных
потенциалов. Исследуем поэтому его структуру.
Лемма 1.7.6. Аффинное расслоение струй J'C -> С моделируется над
векторным расслоением
ТХ <g)(C х ТХ <8> VGР).
С
Имеет место его каноническое расщепление
J'C=C+0C_ =(J2P/G)0 (/\TX(r)V°P) (1.92)
с с V с /
над С, где
2
С_ = Сх ДТ*Х0И°Р,
X
а С+ -> С - это аффинное расслоение, моделируемое над векторным
расслоением
2
С+ = \JTX<g)VGP.
с
?
В координатах (1.91), расщепление (1.92) имеет вид
= - (fc(tm)A + А^) + 2 ~ _ Сп1^А^) j
где cfrin структурные константы правой алгебры Ли 2?г группы G. Выпишем
соответствующие канонические проекции
5^ := рг, : j'C-> С+,
C^m - 3Lm I I,771 I /*m^nfr,
И
..У := pr2 : j'C -> С_,
&~т - ит _ ит _ ~Tl1 ип и1 CnlKxKp-
Легко убедиться, что для всякой связности А величина
JTo JXA = F,
F=X-FZdxx Adx"(r)Im, (1.93)
FZ = dxA? - d,A? - CkAnxAl
- это напряженность (strength) калибровочного потенциала A.
§ 7. Расслоения со структурными группами
67
Пример 1.7.9. Напряженность связности (1.88) из Примера 1.7.8 имеет вид
in
F± = dA± - - sin 9d9 A d<j>.
?
Связность А на главном расслоении P индуцирует связность Г на
ассоциированном с Р расслоении Y (1.81) в соответствии с коммутативной
диаграммой
j'Px V J[Y
АхЫу Г
Р х V Y
Относительно ассоциированных атласов Ф на У и Фр на Р, эта связность
дается выражением
Г = dxx(r)[dx + A(tm)(x)Imijyidi] (1.94)
где А(tm)(х) - коэффициенты локальной 1-формы связности (1.87) и 1т -
генераторы структурной группы G, действующей на типичном слое V
расслоения Y. Кривизна связности (1.94) принимает вид
Мм = FZlJjy\
где - коэффициенты напряженности (1.93) связности А.
Пример 1.7.10. Всякая линейная связность (1.70) из Примера 1.6.3 на
касательном расслоении ТХ ассоциирована с некоторой связностью на главном
реперном расслоении LX со структурной группой GL(n, Е), действующей в
типичных слое Е" этого расслоения с генераторами
(t)cd = 6bd6l-
?
Проблема возникает со связностью на расслоении связностей С -* X,
поскольку оно не является расслоением со структурной группой. Она
решается следующим образом.
Если задана симметричная линейная связность К* (1.70) (т. е. = -К^ла) на
ко-касательном расслоении Т'Х над X, всякая связность В на главном
расслоении Р -> X индуцирует связность
SB:C^C+,
SBoB = S*oj'B,
на расслоении связностей С. В координатах (1.91) на С, эта связность
дается выражением 5в(tm)л = \ [CifcJfcJ. + МГ + дхВ(tm) - cZ(KBlx + fcjBi)] -
К\л {BJ - k?) . (1.95)
3'
Глава 2
Геометрическая теория поля
Геометрическая формулировка классической теории поля основывается, как
уже отмечалось, на представлении классических полей глобальными сечениями
дифференцируемых расслоений
тг : Y -* X,
где база X играет роль пространственно-временного многообразия или
обобщенного пространства параметров.
Общепринятый способ описания динамики полей дает лагранжев формализм, в
котором роль уравнений поля выполняют уравнения Эйлера-Лагранжа. В теории
поля, как правило, можно ограничиться лагранжевым формализмом первого
порядка, когда лагранжиан зависит от производных полей не более первого
порядка. Из фундаментальных полей только в теории гравитации продолжают
по традиции использовать лагранжиан Гильберта-Эйнштейна второго порядка
по метрическому полю, однако и он вычитанием дивергентного члена может
быть сведен к первому порядку. Более того, современная калибровочная
теория гравитационного взаимодействия является аффиннометрической, когда
пространственно-временные метрика и связность рассматриваются как
независимые динамические переменные, и все лагранжианы классической и
квантовой гравитации в этих переменных - это лагранжианы первого порядка.
Лагранжев формализм в теории поля однако не является всеобъемлющим. Он
оказывается не вполне удовлетворителен при описании систем со связями,
когда лагранжиан полей вырожден. В то же время большинство современных
полевых моделей, включая калибровочную теорию и теорию гравитации, имеют
именно вырожденные лагранжианы. Динамика таких моделей адекватно
описывается в рамках гамильтонова формализма. Однако это не есть
стандартный гамильтонов формализм, как в механике, а его так называемое
многоимпульсное обобщение, когда канонические импульсы полей
соответствуют производным полевых функций по всем пространственно-
временным координатам, а не только по времени.
§ 1. Лагранжев формализм
Пусть Y -> X - некоторое расслоение с атласом расслоенных координатам
(хл, у'). Будем интерпретировать его глобальные сечения как классические
поля на п-мерном многообразии X. В конкретных полевых моделях X будет
рассматриваться как 4-мерное пространственно-време1 гное многообразие.
В формализме струй всякая лагранжева плотность (Lagrangian density) или
просто лагранжиан первого порядка сечений расслоения Y -> X определяется
