Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
хиггсовских полей, отвечающих ситуации спонтанного нарушения симметрий,
образующих группу G, когда подгруппой точных симметрий является К.
В общем случае существуют топологические препятствия для редукции
структурной группы расслоения. Опираясь на Теорему 1.3.2 и Теорему 1.7.4,
можно показать, что структурная группа расслоения (над паракомпактной
базой) всегда редуцируема к своей максимальной компактной подгруппе.
Пример 1.7.7. Структурной группой касательного расслоения ТХ над
многообразием X является группа GL(n, Е). Ассоциированное с ТХ главное
GL{n, Е)-расслоение можно представить как расслоение, всякий слой
которого над х ? X состоит из всевозможных базисных n-реперов в
касательном пространстве ТхХ к X. Оно называется главным реперным
расслоением (principal linear frame bundle). Обозначим его LX.
Структурная группа GL(n, Е) расслоения LX и касательного расслоения ТХ
всегда редуцируема к своей максимальной компактной подгруппе 0(п). Это
означает, что всегда
64
Глава 1. Дифференциальная геометрия
существует атлас касательного расслоения с функциями перехода,
принимающими значения в группе 0(п). Однако такой атлас в общем случае не
является голономным. ?
Рассмотрим теперь связности на главных и ассоциированных расслоениях.
В случае главного расслоения Р -> X со структурной группой G, точная
последовательность (1.28а) сводится к точной последовательности
О ->¦ VaP^TaP -> ТХ 0, (1.85)
где
ТаР = TP/G,
V°P=VP/G
- факторы касательного пространства ТР и вертикального касательного
пространства VP над Р относительно касательных Тт: и вертикальных
касательных Vrg морфизмов к каноническому действию гд (1.77)
элементов д Е G на Р справа. С расслоением VеР мы часто
будем иметь дело. Оно называется сопряженным расслоением. Его
типичным слоем является правая алгебра Ли право-инвариантных
векторных полей
на группе G с базисом {1П1}. Группа G действует на этот типичный слой по
присоединенному представлению.
Определение 1.7.5. Связностью на главном расслоении (principal
connection) Р -> X называется глобальное сечение А расслоения струй J'P -
" Р, эквивариантное относительно канонического правого действия (1.77)
группы G на Р, т. е. это связность на Р такая, что диаграмма
Л .
р----------J'P
Гд J'r,j .
А |
Р -J'P
коммутативна для всех д Е G. О
Связность А на главном расслоении представляется тангенциально-значной
формой
А = dxx (r) (дх + А(tm){р)ет) , (1.86)
коэффициенты которой вследствие условия эквивариантности
Aorg= J'rg о A, gEG,
удовлетворяют соотношению
A?(pg) = A?(p)adg-l(em).
Связность на главном расслоении задает расщенление
ТХ ^ ТаР
точной последовательности (1.85).
§ 7. Расслоения со структурными группами
65
Приведенное определение связности на главном расслоении отличается от
того, которое обычно дается в стандартных учебниках по дифференциальной
геометрии. Однако оно позволяет получить расслоение, сечениями которого
являются связности на главном расслоении, т. е. в физической
интерпретации потенциалы калибровочных полей. В то же время, используя
канонический морфизм (1.51) и каноническое горизонтальное расщепление
(1.80), из формы (1.86) можно воспроизвести известную форму связности
(connection form) _
А = а о 0, о А
на главном расслоении Р. Пусть Фр = {z?} - некоторый атлас главного
расслоения Р. Относительно атласа Фр, связность на главном расслоении
(1.86) характеризуется, как обычно, семейством локальных 1-форм связности
А( = z\A - -A(tm)(x)dxx (r) Jm (1-87)
на базе X.
Пример 1.7.8. Рассмотрим связность на главном 17(1)-расслоении А" из
Примера 1.7.2. Она задается локальными 1-формами связности А+ на U+ и А_
на 17_ с функцией перехода
А+ = - in <1ф
на U+ П U_. В частности, можно выбрать связность
ХТ1
А± = -y(cos0± 1)#. (1.88)
?
Связности на главном расслоении, как всякие классические поля, можно
представить сечениями некоторого расслоения. В силу условия
эквивариантности существует взаимно однозначное соответствие между
связностями на главном расслоении Р -> X со структурной группой G и
глобальными сечениями расслоения
С := j'P/G -> X, (1.89)
получаемого из расслоения струй JlP -* Р переходом к фактору относительно
струйных продолжений канонических морфизмов (1.77). Мы будем называть
расслоение (1.89) расслоением связностей. Это аффинное расслоение,
моделируемое над векторным расслоением
С = Т*Х (r)VGP. (1.90)
В частности, оно допускает каноническое вертикальное расщепление
VC = С х С.
Подчеркнем однако, что расслоение связностей С (1.89) не является
расслоением со структурной группой.
Если задан атлас Фя главного расслоения Р, расслоение связностей С
наделяется ассоциированной системой расслоенных координат (ж'1, к(tm))
таких, что для любого его сечения А координатные функции
Ззак. I486 (к(tm) о А)(х) = А(tm) (х)
66
Глава 1. Дифференциальная геометрия
являются коэффициентами локальной 1-формы связности (1.87) связности А.
Многообразие струй JlC расслоения связностей С параметризуется
