Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
моделируемым слева над групповым расслоением Р\
Р х Р э (р, р) I-> рр € Р-
Более того, для каждого ассоциированного с Р расслоения Y существует
послойный морфизм _
PxY->У, (1.82)
х
который задает представление группы Рх в слое Ух для всех iEI.D
Пусть У - ассоциированное с Р расслоение с типичным слоем V. Для р ? Р
обозначим [p]v сужение канонического отображения
Р х V -> (Р х V)/G
на подмногообразие р х У. Тогда
v -+ [p]vv, v G У, есть отображение типичного слоя У в слой Y^p(p)
расслоения У такое, что
[P5lv(v) = Mv(5v)
для всех g € G.
В частности, если
фр = {u" zа
- атлас главного расслоения Р, то отображение
[г^(х)]у : У -+ Ух, ж ? Е7{
задает атлас
Ф = {U(, ?>(}
ассоциированного расслоения У такой, что
<р((х) о [z^xYW - Idv, i 6 Г(.
Будем называть его ассоциированным атласом.
62
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Существует также взаимно однозначное соответствие между глобальными
сечениями s ассоциированного с Р расслоения Y и эквивариантными
(equivariant) V-значными функциями /, на У, т. е. такими, что
fsipg) = g~[fs(p)-
Оно задается соотношением
S(.*P<P)) = [p]v(fs(P)) и в ассоциированных атласах расслоений Р и Y
принимает вид
s((x) = (<р( о s)(x) = fs(zc(x))-
Рассмотрим теперь морфизмы главных расслоений. Это должны быть послойные
морфизмы, сохраняющие структуру главного расслоения.
Морфизм главного G-расслоения Р -> X в главное G'-расслоение Р' -> X' по
определению представляет собой пару (Ф, F), состоящую из послойного
морфизма расслоений Ф : Р -> Р' и гомоморфизма групп F : G -> G' таких,
что
Ф (рд) = Ф (p)F(g), ре Р, д EG.
В частности, изоморфизм главного G-расслоения Р на себя - это
эквивариантный изоморфизм ФР над X расслоения Р, когда для всех д е G
выполняется соотношение
гд офр = Фр о гд.
Мы будем называть его калибровочным изоморфизмом (gauge isomorphism).
Всякий такой изоморфизм Фр представим в виде
*p(p)=Ph(p), реР, (1.83)
где /ф - некоторая G-значная эквивариантная функция на Р:
f*(pg) = g~[f*(p)g, geG.
Имеет место взаимно однозначное соответствие между такими функциями (а
следовательно калибровочными морфизмами ФР) и глобальными сечениями st
группового расслоения Р из Примера 1.7.6. Оно дается соотношением
St(Kp(p))P = pfi(p)-
Это позволяет, используя морфизм (1.82), всякий калибровочный изоморфизм
ФР главного расслоения Р перенести на любое ассоциированное с Р
расслоение Y:
Фу : Y Э у (s4 о 1гР)(у)у е Y,
где st - соответствующее глобальное сечение группового расслоения Р.
Еще одним важным случаем морфизмов главных расслоений, на котором мы
остановимся, является то, что называют редукцией структурной группы
главного расслоения.
Рассмотрим погружение над X главного расслоения Р1 -> X со структурной
группой К в главное расслоение Р ->¦ X со структурной группой G такое,
что К -> G -
§ 7. Расслоения со структурными группами
63
мономорфизм групп. Другими словами Р' является главным подрасслоением со
структурной группой К главного расслоения Р'. Оно называется
редуцированным расслоением (reduced bundle), а выделение такого
подрасслоения - редукцией структурной группы G к подгруппе К. Говорят,
что структурная группа G главного расслоения Р редуцируема к подгруппе Ли
К С G, если существует редуцированное подрасслоение Р со структурной
группой К.
Приведем известные теоремы о редукции структурной группы.
Теорема 1.7.3. Структурная группа G главного расслоения Р редуцируема к
подгруппе Ли К тогда и только тогда, когда существует атлас расслоения Р,
все функции перехода которого принимают значения в подгруппе К. ?
Эта теорема позволяет распространить понятие редукции структурной группы
на любое расслоение со структурной группой. Мы будем говорить, что
структурная группа G расслоения Y редуцируема к подгруппе К, если
существует атлас расслоения Y, все функции перехода (1.75) которого
принимают значения в подгруппе К. В этом смысле структурная группа,
например, тривиального расслоения всегда редуцирована к тривиальной
подгруппе, состоящей из единицы группы.
Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные условия
редуцируе-мости структурной группы. Она играет исключительную роль в
моделях теории поля со спонтанным нарушением симметрий и, в частности, в
теории гравитации.
Теорема 1.7.4. Структурная группа главного расслоения Р -> X редуцируема
к своей замкнутой подгруппе К тогда и только тогда, когда ассоциированное
с Р расслоение
тг^ : Р/К -> X (1.84)
с типичным слоем G/K, на который структурная группа G действует слева,
допускает глобальное сечение. ?
Более того, имеет место взаимно однозначное соответствие между
глобальными сечениями h расслоения (1.84) и редуцированными
подрасслоениями Ph расслоения Р, имеющими структурную группу К. Оно
задается соотношением
'Гре(-Рь) = (Л ° тг P)(Ph),
и можно показать, что всякое редуцированное расслоение Ph представляет
собой сужение главного К -расслоения Р^Р/К (1.79) на замкнутое
подмногообразие h(X)CP/K.
В полевых моделях глобальные сечения h расслоения (1.84) играют роль
