Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 29

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 97 >> Следующая

случаем является расслоение, типичным слоем которого служит групповое
пространство самой структурной группы, на которое она действует
умножениями слева
9 '¦ G -> gG, д G G.
Такое расслоение называется главным расслоением (principal bundle).
Пример 1.7.2. Для описания дираковского монополя используются главные
расслоения А", п = 0, 1, ..., со структурной группой U( 1) над сферой S2.
Параметризуем сферу S2 циклическими координатами
(О^0^7г, 0 < а < 2ж),
а групповое пространство U( 1) = 51 - координатой ехр(гх). Атлас
расслоения А" устроен следующим образом. Покроем сферу S2 двумя открытыми
полусферами U+ и U_ с координатами соответственно в > - е и в < е, где е
> 0. Они являются областями триви-ализация расслоения А", которое
получается склеиванием двух тривиальных расслоений U+xU( 1) иН_хН(1) с
координатами (в, а, ехр(гх+)) и (в, а, ехр(г'х_)) соответственно.
Функцией перехода является U(1)-значная функция на пересечении U+ П U_,
удовлетворяющая условию периодичности по координате а. Оно имеет вид
exp (ix~) = ехр(гпа) ехр (г%+).
Для разных пит расслоения Ап и Ат нейзоморфны. Например, А0 - тривиальное
расслоение S! х S1, тогда как Ai = S3. ?
Главные расслоения обладают целым рядом специфических свойств. Однако
приведенное выше определение не позволяет их выявить. Поэтому обратимся к
более конструктивному и общепринятому определению главного расслоения.
Определение 1.7.1. Расслоение
тг Р:Р->Х (1.76)
называется главным расслоением со структурной группой Ли G (или просто
главным G-расслоением), если задано послойное свободное и транзитивное
действие группы G на Р справа:
rg:p>~*pg, p€P,geG. (1.77)
База главного расслоения X диффеоморфна фактор-пространству Р/G, а
проекция жР совпадает с каноническим морфизмом Р -> P/G. ?
Другими словами главное расслоение (1.76) представляет собой обобщенное
аффинное пространство
Px(XxG)->P,
х
моделируемое справа над тривиальным групповым расслоением X х G.
Будем использовать р для обозначения элементов главного расслоения.
Эквивалентность двух приведенных определений главного расслоения
устанавливает следующая теорема.
Теорема 1.7.2. Всякое главное расслоение Р из Определения 1.7.1
однозначно задается выбором базы X, структурной группы G и атласа
главного расслоения
ФР = {U(,<Ps,g(<}, (1.78)
где функции перехода д(<: - G-значные гладкие функции на П 17,;. ?
60
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Морфизмы тривиализации главного расслоения удовлетворяют условию
Ч>1 (Р9) = 4>t (v)a¦
Поэтому всякому атласу Фр (1.78) главного расслоения Р можно однозначно
сопоставить набор его локальных сечений {z(} таких, что
0 2?)(i) = 1G, x?U(,
zc{x) = z((x)g(<:(x).
Более того, часто удобно задавать атлас Фр главного расслоения именно
набором таких сечений {^}.
Отсюда, в частности, следует, что глобальное сечение главного расслоения
существует тогда и только тогда, когда оно тривиально. Действительно,
если глобальное сечение 5 главного расслоения существует, можно выбрать
z( = s\U(, и преобразования перехода такого атласа будут тождественными.
Пример 1.7.3. Пусть G - группа Ли и К - ее замкнутая подгруппа. Напомним,
что замкнутая подгруппа группы Ли тоже группа Ли. Пусть G/K - правое
фактор-пространство группы G по К. Тогда каноническая проекция
G -> G/K
является главным расслоением со структурной группой К. ?
Пример 1.7.4. Пусть Р -+ X - главное расслоение со структурной группой G
и К - замкнутая подгруппа группы G. Обозначим P/К фактор многообразия Р
по действию К на Р справа. Тогда канонический морфизм
ттр^:Р^Р/К (1.79)
является главным расслоением со структурной группой К. О
Пример 1.7.5. Если Р -> X - главное расслоение со структурной группой G,
то расслоение ТР -* ТХ также является главным расслоением
ТР х Т(Х х G) ТР
тх
со структурной группой
TG = Gy.%,
где г0\ - левая алгебра Ли левоинвариантных векторных полей на группе G.
?
Заметим, что главное G-расслоение Р -* X допускает каноническое
вертикальное расщепление
a\VP -> Р х %
pr2oaoem=Jm, (1.80)
где. {Jm} - базис левой алгебры Ли и {ет} - соответствующие
фундаментальные векторные поля на Р, отвечающие каноническому действию G
на Р справа.
§7. Расслоения со структурными группами
61
Всякому главному расслоению Р -> X со структурной группой G можно
сопоставить, как уже отмечалось, ассоциированное расслоение У -* X с
данным типичным слоем У, реализующим эффективное действие группы G слева.
Следуя Определению 1.7.1 главного расслоения, ассоциированное расслоение
Y можно определить как фактор
Y = (Р х V)/G (1.81)
прямого произведения Р х V относительно действия группы G, т. е. когда
всякие две точки (р х ?;) и (рд х g~lv), д 6 G, отождествляются.
Пример 1.7.6. Для всякого главного G-расслоения Р -* X всегда существует
ассоциированное групповое расслоение Р -> X типичным слоем которого
служит сама группа G, на котором структурная группа G действует по
присоединенному представлению
ad g:G-*gGg~\ g € G.
Главное расслоение P является обобщенным аффинным расслоением,
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed