Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
дает тот факт, что существует каноническое расщепление точных
последовательностей (1.28а) и (1.28Ь), если касательное и кокасательное
расслоения над Y индуцировать на J'Y. Другими словами, определены
канонические вложения
Л : j'Y х ТХ j'Y х TY
X J1Y Y
И
0, : J'Y xV'Y <-> JlY xT*Y.
Y J'Y Y
Они индуцированы каноническими морфизмами (1.50) и (1.51) и имеют
координатный вид _
X-.J'Y хТХ Э дх^дх = дх j\? j'Y х TY, (1.53)
X г
дх = дх + ухд,,
И
0! : J'Y х V'Y Э dy' ^ dy' = 0, j dy' € J'Y x T*F, (1.54)
Y Y
dy = dy - yxdxx.
Вложения (1.53) и (1.54) задают каноническое горизонтальное расщепление
(canonical horizontal splitting) индуцированных расслоений
j'Y х TY = Х(ТХ) 0 VY, (1.55)
у J'Y
ххдх + уд{ = хх(дх + y'xdi) + (у - xxy\)di,
И
J'Y хТ'У = Т*Х 0 0,(F'r), (1.56)
у J'Y
xxdxx + yidy = (xx + ylyx)dxx + i/iidy - yxdxx).
Иначе говоря, мы получаем канонические горизонтальные расщепления над JlY
касательного и кокасательного расслоений TY и T'Y.
Связь вышеизложенного с теорией связностей состоит в том, что при
подстановке в формулы (1.53) и (1.54) некоторого глобального сечение Г
расслоения струй J'Y -" Y:
2/1 ° Г = Тх(у),
воспроизводятся выражения (1.29) и (1.30).для расщепление точных
последовательностей (1.28а) and (1.28b) посредством связности на
расслоении Y. Таким образом, связности на расслоении Y -" X можно
задавать, как это будет подробно рассмотрено в следующем параграфе,
посредством глобальных сечений соответствующего расслоения струй JlY ->Y-
50
Г лава 1. Дифференциальная геометрия
(1.58)
Пример 1.5.6. Канонические горизонтальные расщепления (1.55) и (1.56)
приводят, в частности, к каноническому горизонтальному расщеплению
проектируемого векторного поля
и = ихдх + ид{ = ин +uv = их(дх + у\д{) + (и - иху\)д{ (1.57)
и канонической тангенциально-значной 1-формы
вг = dxx 0 д\ + dy 0 di - А + 0, = dxx 0 д\ + dy 0 =
= dxx 0 (<9Л + j/дЗ;) + (dj/' - y\dxx) 0 di
на расслоении У. ?
Рассмотрим теперь многообразия струй второго порядка.
Пусть J[Y - многообразие струй первого порядка расслоения Y -> X. Можно в
свою очередь построить многообразие струй JlJ[Y расслоения J'Y -" X. Оно
называется повторным многообразием струй (repeated jet manifold). Его
подмногообразиями, к которым мы будем часто обращаться, являются
полуголономное многообразие струй J*Y и собственно многообразие струй
второго порядка J2Y расслоения Y.
При заданных координатах (1.45) на многообразии струй J'Y, повторное
многообразие струй j'j'Y наделяется соответствующими координатами
(я\ У, 2/а, 2/м> 2/аД Ум = %р;(9* + У1А)У .
дха
у'х"= + yicA + yiadi)y'\-
Имеют место два разных расслоения J'J'Y над J'Y:
• обычное расслоение струй (1.47) над J'Y:
л,, : j'j'Y -> J[Y, (1.59)
Ух °тц = у'х,
• и расслоение
j'nl : j'j'Y -* J'Y, (1.60)
i т! 1 i
Ух ° J *0 = У(Х)-
Точки, в которых проекции тги и Jl7r0i совпадают, образуют аффинное
подрасслоение
TY -* J'Y (1.61)
расслоений (1.59) и (1.60), задаваемое координатным условием
У(Х) = Ух-
Оно называется полуголономным многообразием струй (sesquiholonomic jet
manifold) и параметризуется координатами
(*\ У', у'х, Ух")•
§ 5. Многообразия струй
51
Многообразие струй второго порядка (second order jet manifold) J2Y
расслоения F-> X, которое также именуют голономным многообразием струй,
определяется как подрасслоение
-к] : J2Y -> JlF
аффинного расслоения (1.61), задаваемое координатным условием
У\р Ур А
и параметризуемое координатами
(хх, у', ух, y'Xfl = У;х).
Можно дать другое эквивалентное и самодостаточное определение
многообразия 2-струй J2Y как объединения всех классов эквивалентности jls
сечений s расслоения Y -> X таких, что
y'x(jls) = dxs(x), y'Xli(jls) = d^dxs'(x).
Иначе говоря, сечения s ? j2xs отождествляются по их значениям и
значениям их частных производных первого и второго порядков в точке ж ?
X.
Пусть s - сечение расслоения Y -> X и J's - его струйное продолжение до
сечения расслоения J'Y -> X. В свою очередь рассмотрим струйное
продолжение последнего до сечения J'j's расслоения J1 J'F -> X. Легко
убедиться, что оно принимает значения в голономном многообразии струй J2Y
и поэтому, как принято, будем его обозначать J2s:
(j'jls)(x) = (J2s)(x)=jls.
Имеют место условия интегрируемости.
Предложение 1.5.3. Пусть s - сечение расслоения JlY ->Ли J's - его
струйное продолжение до сечения расслоения J'J'F -> X. Следующие условия
эквивалентны:
• сечение s является голономным, т. е. s = J's где s - некоторое сечение
Y -> X,
• сечение J's принимает значения в J^F,
• сечение J's принимает значения в J2F.
?
Они будут использованы в §2.1 для редукции дифференциальных операторов и
дифференциальных уравнений второго порядка к дифференциальным операторам
и дифференциальным уравнениям первого порядка. Это прежде всего операторы
и уравнения Эйлера-Лагранжа первого и второго порядков.
Приведенные выше определения многообразий струй 2-го порядка почти
дословно распространяются на многообразия струй произвольного /с-го
