Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 11

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 97 >> Следующая

разных расслоенных пространства. Даже гомеоморфизм топологического
пространства на себя может нарушить его структуру как расслоенного
пространства.
Чтобы не теря.ть структуру расслоенного пространства при отображениях, в
качестве морфизмов расслоенных пространств рассматривают только так
называемые послойные
§ 2. Многообразия
15
отображения, когда всякий слой одного расслоенного пространства Y -> X
полностью отображается в один из слоев другого расслоенного пространства
У -+ X'. Такой послойный морфизм (fibered morphism) задается парой
отображений
Ф :Y-*Y', f\X->X',
образующих коммутативную диаграмму
ф /
Y Y
X -----J-~x'
При этом говорят, что отображение Ф является послойным морфизмом над /.
Если / = Их - тождественное отображение, Ф для краткости называют
послойным морфизмом над X и обозначают
Y->Y'.
х
Мы не будем далее углубляться в общую теорию топологических расслоенных
пространств, поскольку главным объектом нашего внимания будут расслоенные
многообразия.
§2. Многообразия
Хотя в ряде полевых моделях привлекаются топологические пространства
подчас весьма специального вида, стандартная классическая теория поля
ограничивается рассмотрением многообразий - топологических пространств,
которые как бы склеены из областей евклидова пространства. Это позволяет
на каждой такой области вводить систему координат, а если переходы между
этими областями достаточно гладкие, задавать на таком пространстве
дифференцируемую структуру.
Пусть М - топологическое пространство и {U(} - его открытое покрытие
такое, что для каждого Uc задан его гомеоморфизм фс на открытое
подмножество из Rm. Пара (Uc, ф() называется картой (chart) на М.
Говорят, что две карты (Uc, ф() и (Uf, ф() на М гладко согласованы, если
отображение <ДС о ф~1 множества ф^(17^ П U() С Кт в множество П Uf ) С
R"' (оно именуется функцией перехода (transition function))
принадлежит классу Сх, т. е. является бесконечно дифференцируемым.
Все семейство попарно гладко согласованных карт фм = {Е/с, фс} называется
гладким атласом (atlas) пространства М. На М могут существовать различные
атласы. Два атласа считаются эквивалентными, если их объединение - тоже
атлас, т. е. если карты, принадлежащие этим разным атласам, тоже попарно
гладко согласованы.
Топологическое пространство, наделенное семейством таких эквивалентных
гладких атласов называется т-мерным вещественным дифференцируемым
многообразием или просто многообразием (manifold). .Причем, если одно и
то же топологическое пространство допускает неэквивалентные атласы, то
это будут разные многообразия.
Следует подчеркнуть, что структуру многообразия на множестве можно ввести
без относительно какой-либо первоначальной топологии на нем. Уже потом
это многообразие может быть наделено подчиненной локально евклидовой
топологической структурой.
I
16
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Мы не станем здесь вдаваться в такие детали и будем в дальнейшем
предполагать, что всякое многообразие является и соответствующим
топологическим пространством.
Казалось бы, что пространства, гладко склеенные из областей евклидова
пространства, с гарантией обладают хорошими топологическими свойствами.
Однако это не так. Склейка двух прямых из Примера 1.1.14 является гладким
многообразием, однако оно даже не отделимо. Поэтому, если специально не
оговорено, в дальнейшем потребуем, чтобы многообразия были отделимыми
локально компактными счетными в бесконечности (т. е. паракомпактными)
связными топологическими пространствами. В частности, такое многообразие
всегда можно покрыть счетным числом карт. Многообразия, используемые в
физических приложениях, допускают, как правило, атласы с конечным числом
карт.
Заметим, что можно рассматривать многообразия над другими числовыми
полями и других классов гладкости, в том числе аналитические
многообразия, а также топологические многообразия, когда требуется не
дифференцируемость, а только непрерывность функций перехода между
картами.
Задание атласа многообразия позволяет ввести на нем систему координат.
Пусть М - т-мерное многообразие. На каждой карте (U, ф) многообразия М
всякой точке z ? 17 можно сопоставить набор чисел (z1, ..., zm) -
коэффициентов разложения вектора ф(г) относительно некоторого
фиксированного базиса пространства Мт, т. е.
где (г)'1) - координаты на Мт. Этот набор называется локальными
координатами (или просто координатами) точки л в карте (U, ф). Если точка
z накрывается еще другой картой (и',ф'), то в этой карте ей будет
сопоставлен другой набор локальных коорди-
на пересечении U П U'.
Часто технически удобно задавать атлас многообразия именно как систему
коорди-
Пример 1.2.1. Сфера S2 является дифференцируемым многообразием, атлас
которого может быть построен из двух карт - ({/,, фф и (СА, ф2), где U,
(соотв. U2) - сфера без северного (соотв. южного) полюса и ф1 (соотв. фг)
стереографическая проекция из северного (соотв. южного) полюса на
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed