Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
пространство X' и гомеоморфизм X на дополнение к некоторой точке а в X'.
Такое пространство X' называется компактификацией локально компактного
пространства X. Оно строится как объединение пространства X и.множества
из одного элемента {а}. Топология на X' определяется выбором в качестве
открытых множеств в X' всех открытых множеств из X и всевозможных
множеств вида (Х\К) U {а}, где К - компактные подмножества X. Говорят,
что X' получается из X присоединением бесконечно удаленной точки а.
§ 1 ¦ Топологические пространства
13
Пример 1.1.15. Компактификация прямой К гомеоморфна окружности 5'.
Действительно, введем на Ж декартову координату х, а на S[ циклическую
координату -¦к ^ а ^ 7Г так, что координаты 7Г и -ж принадлежат одной и
той же точке а. Отображение
обратное стереографической проекции из точки а, осуществляет гомеоморфизм
Ж на S1 \ {а}. При этом всякое открытое множество ]а + е, а - е[ в S',
содержащее а, представляет собой объединение образа множества
при таком отображении и точки а, приобретающей декартову координату х =
±оо. ?
Локально компактное пространство называется счетным в бесконечности, если
оно является счетным объединением компактных подпространств.
Например, евклидово топологическое пространство счетно в бесконечности.
Действительно, числовую прямую легко представить как объединение счетного
числа отрезков.
Локально компактные пространства, счетные в бесконечности, паракомпактны.
Отделимое топологическое пространство называется паракомпактным, если
любое его открытое покрытие содержит локально конечное подпокрытие, т. е.
всякий элемент обладает открытой окрестностью, пересекающейся лишь с
конечным числом множеств из этого подпокрытия.
Условие паракомпактности существенно входит в ряд теорем, которые будут в
дальнейшем использоваться. Это связано с тем, что паракомпактные
пространства допускают так называемое разбиение единицы.
Пусть {1Д} - открытое покрытие отделимого топологического пространства X.
Семейство Д неотрицательных вещественных непрерывных функций на X
называется разбиением единицы, подчиненным этому покрытию, если:
• носитель supp/f (т. е. наименьшее замкнутое множество, вне которого Д =
0) принадлежит СД;
• каждый элемент X обладает открытой окрестностью, пересекающейся лишь с
конечным числом множеств supp Д;
• ^ Д(а0 = 1 для любого х ? X.
Важно, что всякое замкнутое подпространство паракомпактного пространства
тоже паракомпактно.
Отметим, что свойства отделимости, компактности, локальной компактности,
паракомпактности и связности топологических пространств сохраняются при
непрерывных отображениях, т. е. образ топологического пространства,
обладающего каким-либо из этих.свойств, при непрерывном отображении тоже
обладает тем же свойством в топологии образа.
В дальнейшем все отображения считаются непрерывными.
. Договоримся о терминологии, касающейся разных типов отображений. Она
различается в разных изданиях.
а = 2 arctg х,
f
14
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Будем для наглядности именовать элементы топологического пространства
точками. Вложение топологического пространства в топологическое
пространство называется инъекцией (injection), а сам термин вложение
(imbedding) будем применять только в случае, когда инъекция является
гомеоморфизмом на топологическое подпро- Рис. 2
странство.
Пример 1.1.16. Рисунок 2 демонстрирует инъекцию прямой К в плоскость К2,
которая не является вложением. Индуцированная топология на образе этой
прямой слабее евклидовой топологии на К. ?
Отображение топологического пространства на топологическое пространство
называется сюръекцией (suijection). Сюръекции вида
рг( : А х В -> А, рг2 : А х В -> В
именуют также проекциями.
Всякая сюръекция
7Г : У -" X (1.4)
задает разбиение
У = U тг"'(а:)
х?Х
пространства У на слои (fiber) Yx = тт~'(х) над точками пространства X.
Поэтому будем именовать топологическое пространство У расслоенным
пространством над базой (base) X, если задана сюръекция (1.4).
Пример 1.1.17. Евклидово топологическое пространство К3 представляет
собой расслоенное пространство над базой К2 относительно ортогональной
проекции на R2. Слоями являются прямые, ортогональные плоскости R2. Тор
Т2 = S' х S1 представляет собой расслоенное пространство над окружностью
S1 со слоями - окружностями S'. ?
Подчеркнем что база X расслоенного пространства (1.4) не является его
подпространством, но может существовать, хотя и не всегда, послойное
вложение
s\X^Y,
когда всякой точке х 6 X сопоставляется некоторая точка s(x) обязательно
из слоя Ух над ж, т. е. 7Г о s = Idx. Такое вложение s называется
глобальным сечением расслоенного пространства У. Соответственно,
послойное вложение s некоторого подпространства U С X в У называется
локальным сечением над U или просто сечением (section), если U - это
открытое подмножество X.
Одно и то же топологическое пространство может быть наделено разными
структурами расслоенного пространства. Например, УхХ->ХиУхХ->У - это два
