Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
+ Ї2ЩГ (т) азй° (1 ~ е~2М) +
+ щ(і)(5аб~ -r^)- (117)
Таким образом, можно написать решение дифференциального уравнения (78) во втором приближении, амплитуда которого определяется равенством (ИЗ), а фаза — выражением (117).
Амплитуда и фаза являются функциями времени t. В силу того, что колебания описывались нелинейным уравнением, частота колебаний оказалась зависящей от их амплитуды и времени.
§ 31. Применение описанной теории к задаче определения постоянной тяготения
Угол отклонения ф крутильной системы зависит не только от времени, но и от параметров крутильной системы и притягивающих масс (посредством коэффициентов Ctfc), коэффициента P1, характеризующего вязкое сопротивление : движению крутильной системы. Кроме того, величина угла ф зависит от постоянной тяготения / и упругой постоянной нити т. Последняя может быть рассчитана по заданному модулю сдвига материала, из которого изготовлена нить, по ее длине и диаметру. Однако из-за неточности этих данных вычисленные значения т являются ненадежными. Поэтому в экспериментах эта величина находится одновременно с определением значения постоянной тяготения. От этих двух постоянных зависит и амплитуда и частота колебаний. Поэтому в принципе возможно их определение по изменению как амплитуды, так и частоты.
ПРИМЕНЕНИЕ ОПИСАННОЙ ТЕОРИИ
173
Амплитуда а зависит от т и / только во втором приближении. Основное ее изменение (113) пропорционально начальной амплитуде а0, умноженной на экспоненциальную функцию, показателем которой является — P1L Кроме основного, имеется незначительное изменение, зависящее от членов со степенями а0. Только эти члены имеют сомножителем отношение //T1. Поскольку величина амплитуды а0 колебаний составляет доли радиана, то степени а0 быстро убывают и поправка к основной части амплитуды представляет малую величину. Уловить это изменение за счет изменения //T1 с достаточной точностью затруднительно. Поэтому амплитудный метод определения постоянных / и т в рассматриваемом случае нецелесообразен.
Несравненно предпочтительнее постоянную тяготения / определять по частоте колебаний, которая зависит от постоянной т и постоянной тяготения / уже в первом приближении. Нами было найдено выражение для чввготы dQ/dt (115) с точностью до а?. Хотя частота dQ/dt тоже зависит от амплитуды а0, но, как можно видеть по равенству
(115), отношение //T1 входит сомножителем при второй, четвертой и т. д. степенях амплитуды а0. Так как T1 = т /(X1, то очевидно, что отношение //т будет входить и с нулевой степенью амплитуды а0 и независимо от времени t.
Значение коэффициента P1 более надежно может быть определено по изменению амплитуды колебаний или средней линии записи ф(?). Кривая ф(?) состоит из суммы слагаемых, уменьшающихся с различными степенями
Для определения показателя P1 необходимо представить осевую линию записи колебаний ф(?) в виде многочлена по степеням с неизвестными коэффициентами P1 в показателях степени и неизвестными коэффициентами щ многочлена
ф (t) — пхе~^1 + п^ег^1 + . . . + ще~№if ^ Щ'
He останавливаясь на технике определения искомых неизвестных щ и P1, отметим только, что этот процесс является крайне деликатным, ввиду исключительной чувствительности показательной функции к ошибкам исходных данных.
Коэффициент при //т, как показывает равенство (115), представляет собой сумму, каждое слагаемое которой
174
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫ^ Ьесов
[ГЛ. V
зависит от различных степеней начальной амплитуды а0, коэффициентов Oift, зависящих от параметров прибора: массы и размеров коромысла крутильной системы и величины притягивающих масс, а также расстояний их от оси колебаний. Все эти параметры являются заранее точно известными величинами. Для определения из опыта частоты колебаний dQ/dt производится точная регистрация фазы колебаний в определенные моменты времени. Определение dQ/dt — сложная и большая проблема. Сейчас же мы предположим, что так или иначе из опыта определена частота dQ/dt, т. е. известна левая часть уравнений (115). Неизвестными считаются ти/. Перепишем уравнение (115) в следующем виде:
Л — YX ^ “Ь (4') (Яь а3> а6) Pl) aOi t) +
+ ^) L^2\a,i, а3, оіб, Pi, а0, i)J , (118)
где коэффициенты при степенях //т обозначены соответственно через и Z/2). Это — известные величины, так как при проведении эксперимента величина массы крутильной системы, ее размеры и расстояние от притягивающих масс, а также размеры и массы последних считаются заданными. Амплитуда же колебаний а0 и коэффициент P1(J) определяются в процессе опыта. Учитывая малость членов с (//т)2 и Р2/2т, можно для их вычисления принять приближенные значения / и т. Тогда неизвестные ]/т и / могут быть определены из двух уравнений вида (118), Для этого определяются частоты колебаний крутильной системы dQ/dt, соответствующие двум различным положениям притягивающих масс. Наиболее существенно сказывается на изменении частоты dQ/dt изменение положения и размеров притягивающих масс. Обычно в проводившихся ранее опытах изменялся только один параметр — положение этих масс. Различием амплитуды а0 колебаний при двух положениях притягивающих масс и небольшим изменением частоты s dQ/dt t со временем пренебрегали.
