Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
Решение во втором приближении ищется в виде уравнения (95)
ф (а, 0) = a cos 0 + /фх (а, .0),
в котором амплитуда а и фаза 0 определяются из дифференциальных уравнений, содержащих уже члены порядка малости /2:
-J- = Ztf1(O)+/•#,(<*), (102)
= Y^+ fh (a) + Fh2 (а). (103)
Выражения коэффициентов разложения функции ф^а, 0) в ряд Фурье нами были найдены в предыдущем параграфе. Поэтому теперь можно записать разложение функции
168 УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ [ГЛ. V
фх(а, 0) в виде
ф! (а, 9) ----~ 2 ацаїАЦ'О —
fe=ft
Jr S (i~ S akalcA *•m)cos mQ- (104^
Tc=O
Здесь а и 9 являются функциями времени; явное их выражение должно быть определено путем решения дифференциальных уравнений (102) и (103). Для вывода необходимых при этом функций //2 и A2 умножим последовательно обе части второго равенства (85) на cos 0 с/0 и sin В d0 и проинтегрируем в пределах от 0 до 2л:
+ Фа) cos0rfe^= (я.0) COS 0 с/9 +
о о
2П 2 п
+ 2а ]/"т йа ^ cos 0 cos 0 dQ +2 Нг ^ sin0 cos 0 ?/0, (105)
« о
2« 2«
S т + Фа) sin0c^0 = ^ ZiI(a, 0) sin 0 с/0 +
О О
2 п
+ 2а Yx hz ^ cos Osin 0с/0 4- sin9 sin 0 с/0. (106)
о о
Так как функция <р2(а, 0), представленная в виде ряда Фурье, так же как и фх(а,0) (88), не должна содержать
членов с sin 9 и cos 9, то левые части уравнений (105) и
(1U6) равны нулю. В правые части этих уравнений вместо функции F1Ia, 0) подставляем ее выражение (87). Поскольку Fx{a, 0) содержит фх(а, 9), то при интегрировании используется уравнение (88). В результате преобразования уравнений (105) и (106) получим
О = ш (P2 + A?) — 2 S Aic, т, + 2ла )Л: A2,
Tn1=O TC=:1
(107)
О = — + 2я/т H2. (108)
§ 30] РЕШЕНИЕ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
169
При выводе формул (108), кроме ранее написанных соотношений (94), использовались следующие:
2п\т = Tn1 = 0,
it; т = тгф0,
0; тфт±,
CosmGcosm1G dQ=
О
2«
sin тВ sin TnlQ dQ =
Г я;
I о;
т = Inl = О, т -ф тъ
(109)
Ssi
О
2rt
^sin mQ cos TTi1Q dm= 0. о
Находя A2 и Hi из уравнений (107) и (108), подставим их выражения в дифференциальные уравнения (102) и (103), определяющие амплитуду и фазу колебаний во втором приближении:
= — 2 (к — 1)акАк 1«*, (HO)
da
dt
к=2
rf9
Ht=Vx'
/2
8л=т'
Ic=I
2я
S' S Ыка™,АК (111)
Tnl-O fc=l
Решение этих уравнений будем искать, ограничившись конечным числом членов сумм в выражениях (HO) и (111). Предположим, что в разложении момента сил притяжения сохранены члены с O1, а8 и а5, т. е. члены с первой, третьей и пятой степенями угла ср. Кроме того, будем считать, что коэффициент O1 объединен с т:
X + Za1 = T1.
Для такого упрощенного, но вполне достаточного по точности случая уравнение (HO) приобретает вид da
~dt 1 ' S Xx1.
= — aPi + Ц-) (3a3a3 -f 5a6a5).
170 УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ (ГЛ. V
Это — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными; преобразуем его к виду
— lf/\ = a [I — -g- J (За3а2 + 5а5а4)]
Разлагая знаменатель левой части в ряд и удерживая члены порядка а4, проинтегрируем полученное уравнение 1аа + =
= -P1* + In C1, (112)
где C1 — постоянная интегрирования, определяемая из начального условия:
Л (t) J (=Q = Яд.
Для того чтобы разрешить уравнение (112) относительно а, сначала положим
а л; а0ег&'1,
и это выражение а подставим во все члены уравнения (112), кроме основного In а. После этого можно написать
_ . . - — Щ _ J- (-L) а4 (5«6 + 2 ( -L) *2) e-4d,t
а(і)=СіЄ-Р«([е 16 v 32 V T1/ о 8 V T1 І з j _
Экспоненциальную функцию, записанную в квадратных скобках, разлагаем в ряд по степеням ее показателя, а удерживая только первые члены разложения, приближенно получим
а(0 = С1в-*‘[1 -4Ш ~ІШХ
X (5a6-f X (X) а!) ].
Находя постоянную интегрирования C1 из начального условия, будем иметь следующее выражение для амплитуды колебаний во втором приближении:
а (і) = а0е~Ы [ I--J (X)aeflt^fc* - (X) х
x(5a5+^-(-^-)a'K^H’ (113)
РЕШЕНИЕ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
171
где
O-Oz
Теперь необходимо выражение (113) подставить в правую часть дифференциального уравнения (111). В уравнении (111) сохраним тоже только члены с Ci1, а3 и аб:
dQ ,/-- Pj . / гЗ 2|5 4І /* |3 21
Sr-^ +Wi^asa +їбаеа ]~і^[таза +
+ Та*а4]'2 + [|а3а^1>а + -^-а6<4г)а3-+ а6а^а3].
(114)
В соответствии с равенствами (91) и (93):
4г) = щ; (а3«3 + j «5я5),
„00 _ 1 ft „5
8 384ті 5 ‘
Подставляя в правую часть уравнения (114) выражения а*!* и и удерживая члены" порядка а|5, получим следую-
щее выражение возмущенной частоты колебаний:
S - {* ¦-1+Ї tk) -л +в (if +
+ иШ(5*-га(^Н“^,1- <ш>
Проинтегрируем уравнение (115) по времени t и оставим в результате члены порядка До. Тогда выражение для фазы колебания приобретает такой вид:
172
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ [ГЛ. V
Постоянная интегрирования C2 определяется из начального условия
0 (*)|l=0 = 00-
Находя C2 и подставляя ее выражение в (116), будем иметь
0 (0 — 0о = УЧ {(1 — -^) t + (-Q а-А (1 — <г2^) +
