Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
+(^ «.я1+ад sin e - 2 Yr2/7 Jf1 -»?. .(87)
Из уравнений (85) можно вывести интересующие нас функции Cp1 (а, 0), ср2 (а, 0), ... , H1 (a), Н2(а),. . . , A1 (a), A2 (а), ...
Решить уравнение (78) в первом приближении, значит, найти выражения функций cp1(a, 0), H1(U) и A1(^)1 Для этого представим функции cpx(a, 0) и F0(a, 0) в виде тригонометрического многочлена
т
фх (a, G) = 2 (а™ cos m0 + аsiп (88)
т—0
коэффициенты а(т to а(т которого определяются равенствами
2TZ
eO4 = -^T S Фі K01) ^0I,-
О
2л
a™ = 4" § 0i)cos;n0irf0i,
О
2тс
а(Д> = 4" § cP1 (а’sin m0id0i-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
163
В разложении (88) должны отсутствовать члены с sin 0 и cos0, т. е. CL^i = аТ = 0. На это указывает штрих в сумме (88). Условие отсутствия названных членов означает выбор в качестве величины а полной амплитуды первой основной гармоники колебаний.
Для функции F0(a, в) имеем разложение
где
F0 (а, 0) = 2 (b(m cos mQ + Ът sin mQ),
m=o
an
^ K0iW01,
о
2 к
= ^ Fq (a, G1) cos mQidQu
0 2ТГ
bm = S F° (®> 0l) Sil1 wV0I-
(89)
(90)
Подставляя выражения (88) и (89) в первое уравнение (85), получим равенство, связывающее коэффициенты а'т и а(т соответственно С Ь(т И Ъ'т-
т
2 (1 — т2) т [а,т cos mQ -f a«} sin mQ] —
2 (bm cos mQ + bm sin mQ) = 2a Yx Zz1CosB-f
+ 2 ^ArZZ1SinO.
771=0
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях cos mQ и sin mQ, получим
a(1) -
U-771 -
a,
t (I —m2)
bm m
(2) _ ___________________
m ~ T (I— m2) ’
m = 0, 2, 3, 4, ... ,
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ BlLCOB
[ҐЛ. V
=
а{» = af - Or ь|1)
, Hx = -
6<2>
(91)
(92)
2а Yx ’ 2 Yx
Подставляя выражение (8В) для функции F0(a,Q) в равенства (90), найдем
2п 1
=-|я $ (2&Yт PsinBi— 2 а (?) ®*'cos1 0i) с/01
7.^0
= — 2 о ,
/.=0
2 п
Ьт = ~5 (^a УХ P Sin ©I — 2 а<- (1Ij) °к COS1B1)
X
)¦ О
X CosmO1CZG1 ---------—2 cthakAky т.
7.=0
і»
Ьт = $ (2ах р sin G1 — 2 аь WaftCosftG1) х
X sin JnQ1ClQ1 =
7.=0
_ Г2а Yx Р; т = 1,
I 0; прочие значения т.,
! (93)
где
2“
^7(,m = ^ CosftG1 cos /^G1 с/01 = 2 [I + (—l)l + m]X
X
Здесь
______________и____________. , .
(т — к) (т — к + 2)... (т + к) ’ т'
л пл (94)
.[ т<&, А — т = 2г,
ft!
(2г + 1)!!(2т+2г + 1)!1 ’
т<^к, к — /гг — 2г -f- 1.
0; т — A = 2г,
I; т — & = Ai + 1, —1; т — к = 4г —1.
s 29] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАГШЕНИЕ IfiS
Таблица 14
О 1 2 3 4 5 6 7
о 2 Jt о о 3jt T о 5л ТГ О
1 О Jt о к CO I о 5л "1Г О
2 О о Jt “Г о Jt ~2~ о 15л 12 О
3 о о о л т~ о 5л 16 О
4 о о о о Jt ~8~ О Зл Tb О
5 о о о о O Jt Тб" о
6 о о о о о о л 32" о
Для примера в табл. 14 приведены значения коэффициентов Ah^m, вычисленные по формуле (94).
Напишем решение дифференциального уравнения (78) в первом приближении,
ср (i) = a cos 0 -(- /фх (а, 0), (95)
где амплитуда а и фаза колебаний 0 определяются путем решения двух дифференциальных уравнений первого порядка:
% =^fH1 (а),
^ = Yx +Ihі (“)•
Конкретные выражения функций Hl(Cl) и H1(Cl) можно получить, если обратиться к равенствам (92) — (93). Подставив соответствующие выражения H1(O) и Ii1(O) в
166
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ [ГЛ. V
последние два уравнения, будем иметь
da
dt
/
(96) <97>
Следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Члены порядка / в последних двух уравнениях за время t приведут к ошибке порядка /? в самих функциях а и 0. Поэтому в первом приближении в выражении (95) не имеет смысла сохранять член f^(a, 0), а достаточно использовать только первое слагаемое a cos 0. Выражение же фх(а, 0) будет использовано при описании второго приближения в решении исходного дифференциального уравнения.
Проинтегрировав уравнение (96), получим
a (t) = а0егт, (98)
где ап -- начальная амплитуда колебаний. Подставим последнее выражение в дифференциальное уравнение (97):
ЙЄ dt
Jc=I, 3, 5,...
В сумме отсутствуют члены с четными индексами к, так как равны нулю соответствующие коэффициенты Ajill (см. табл. 14). Проинтегрируем дифференциальное уравнение (99) по времени. Использовав для определения постоянной интегрирования начальное условие
0 (t) I i=0 = 0О,
получим следующее выражение для фазы колебаний:
ои Alf .а!
0(t)-0o=/ff +--------S W’10
' 0 у 2aVxQ ^
S=I1 3, 5,...
S-I
X
Следовательно, решение в первом приближении может
РЕШЕНИЕ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
167
быть записано в виде
,(O = O0^COS (*+-5^ S
Tc=I, 3, 5,...
X (1-<г<*-1)/3< ))+0о].
Используя первое из равенств (79) и вводя новое обозначение
/3=-1 = ?, (101) можно уравнение для ер (і) переписать так:
<Р (0 = «оcos [У T (t -Ь (4-) S - Х
fc=l, 3, 5,...
X (1-е-№-«<>«* )) + 0о],
которое представляет решение дифференциального уравнения (78) в первом приближении. В решении учитывается изменение амплитуды и фазы колебаний в течение времени t.
§ 30. Решение дифференциального уравнения крутильных колебаний во втором приближении
