Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
§ 29. Дифференциальное уравпение крутильных колебаний и его решение в первом приближении
Составим дифференциальное уравнение крутильных колебаний. При этом учтем рассмотренный выше момент сил притяжения SRnp (ф, г|з), момент упругих сил нити 9КТ (<р), момент SRc (d<f/dt) сил сопротивления воздуха движению коромысла и сил внутреннего трения в упругой нити. Момент SK0 (dyldt) предполагаем пропорциональным первой степени скорости d<f/dt движения крутильной системы:
«•(И)=ф(ї)' <74>
где P — некоторый постоянный коэффициент, характеризующий величину сопротивления. Момент упругих сил рассматривается линейно зависящим от угла отклонения Ф крутильной системы от положения равновесия:
9Кт (ф) = Гф. (75)
Постоянный множитель г характеризует «жесткость» нити на закручивание. Его зависимость от длины, диаметра нити и модуля сдвига материала, из которого изготовлена нить, описывается формулой (17).
Опираясь на выражения моментов (73) — (75), можно, написать следующее дифференциальное уравнение крутильных колебаний коромысла в гравитационном поле других масс:
OO
jW + 2? + ^+ SfinWVk = O1 (76)
/f =O
где J — момент инерции крутильной системы относитель-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
159
но оси нити. Уравнение (76) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение.
Решение полученного дифференциального уравнения
(76) сложно. Поскольку оно не может быть получено в элементарных функциях, будем искать его приближенное решение. Для этого выделим в уравнении (76) часть членов, описывающих основное движение, а оставшиеся рассмотрим как возмущение основного движения. Такое представление возможно, ибо момент сил притяжения и момент сил сопротивления являются величинами малыми по сравнению с моментом упругих сил закрученной нити. Запишем уравнение (76) в виде
е — малый параметр, в качестве которого принимается постоянная тяготения /. Уравнение (77) перепишем так:
Искомое решение уравнения (78) представим в виде разложения
Первый член последнего равенства является решением уравнения (78) без правой части, т. е. без членов, описывающих возмущения. В решении (80) вспомогательные функции Cp1, ф2,.-- предполагаются периодическими функциями с периодом 2я относительно 0, а амплитуда а и скорость вращения фазы 0 — переменными и их изме-
(77)
где
(78)
Здесь
CO
Ф = a cos 0 + /фі (а, 0) + /2ф2 (а, 0) + • • • (80)
160
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ
[ГЛ. V
нения во времени представляются в виде разложения в ряд по степеням малого параметра /:
где H1(O), ZZa(a),...,Ti1(^)1 К(а),... — вспомогательные функции. Если бы удалось определить функции ср^а, 0), Фа(а,0),..., H1(O)tHi(O),..., Ii1(O), Нг(а), то задача отыскания приближенного решения была бы разрешена. Поэтому дальнейшие выводы преследуют цель определения этих функций.
Дифференцируя дважды по времени t обе части равенства (80), имеем:
Используя равенства (80) и (83) для ф и d?y/dt2, дифференциальное уравнение (77) можно переписать с преобразованной левой частью в следующем виде:
¦jj — /ZZ1 (а) + /г//8 (а) + • • •,
I = YT +Ih1 (a)+Phi(O)+...,
(81)
(82)
где для краткости обозначено:
G1 = т +- Тф! — 2а Ух hi cos 0 — 2 Ух ZZ1SinB,
Gi = -^-т+тф2—2аУ х h2cos& — 2]/т F2sin0 +
+ (Hi^ — ahl) cos Є — (oHi + 2HlIi1) sin 0 +
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
161
При написании выражений для G1 и G2 производные сРа <ІЩ (dQ \2 (da\* (da dQ \ .
¦**•**• Vdt j '[dt) ' [dt ‘ It) были заменены их выражениями, которые получены из равенств (81) и (82) путем их дифференцирования по времени t и соответствующих преобразований:
^ + 0(/3),
{~У=ті + о(п (?4 = * + 2f Yrhx +р (h\ +2 Y^h2) +о (П,
(w) (?= fVrH, + F (Yx H2 + /I1H1) + о (/»).
Разложим теперь в ряд по степеням малого параметра / правую часть дифференциального уравнения (77). Для этого представим функцию F(ф, dyldt) в виде разложения в ряд Тейлора относительно точки (ф(а, 0), dq>(a,Q)/dt), т. е.
•Р(ф)-^-) = F (a cos 0 + /фі + /2фї 4- • • •,
¦^-(асо8 0+/ф1+/'2ф2+...)) = ^(acos0 + /фх 4-/аф2-4-,
. п dQ ,da а . , дфі і , дфі dQ , Зфі da
~asm Q7F + ltcosQ + ^ + f-W-dt+flfc-dr +
+ f2---)=F(acosQ, — aY:( sin0) + / [фх(Щ~)І=0 +
+ (H1CosQ-Cih1SinQ +0(p).
Приравнивая правую часть полученного уравнения правой части уравнения (84', получим
fGx + PG2 + • • • = /F (a cos 0, — a Y* sin 0) +
+ /2 [ cPi (?-)4'(Я1C0S 9 ~ аНх 8ІП 9 + ^ ^ +
+ 0(П
Сравнение членов при одинаковых степенях малого
162 УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ BKCOB [ГЛ. V
параметра / дает систему уравнений t(^l + Cp1) =F0 (а, 0) + 2a I^Tft1CosG + 2 YxHi sin 0,
tIlP" + ^2) =^1(а'0) + 2а I^tA2Cos 0 + 2 |/rtf2sin0, |(85)
где для краткости введены обозначения Fn(a, 0) и Рг(а, 0). Конкретное их выражение, соответствующее нашей задаче, имеет такой вид:
F0 = F(a cos 0, — a Yx sin 0) =
= 2а Yt Psin 9 — 2 (1I5Vfc cosfc 0, (86)
),-=0
F1 = —2(3 (H1 cos 0 — aht sin 0 + д tP1 Yr) —
00
I TT
— (P1 2 &** (^) a*-1 cosfc-10 + {ah\ — H1 cos0 +
