Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
= в (70)
з (ф—-Ф) (1{)>
Выражение SRnp в уравнении (70) удобнее использовать в
виде (57). Точное аналитическое решение несколько за-
труднительно, поэтому проще решать уравнение одним
MJf-f)
Рис. 25. График изменения момента сил притяжения 9ЛПр (Ф — 'Ф) в зависимости от угла ф — ф и параметра a = Rjp.
из приближенных методов, в частности, графически. Как следует из рис. 25, максимумы функций SR„p наступают соответственно при значениях ф — ф, равных 5, 15 и 45°. По мере увеличения отношения а максимум функций SRnp смещается к направлению, совпадающему с направлением продольной оси коромысла.
Рассмотрим теперь в несколько более общем виде момент сил притяжения в случае коромысла и масс произвольной формы и плотности.
Пусть Q1 — крутильная система произвольной формы и плотности — подвешена на тонкой нити, так что она может совершать вокруг оси нити крутильные колебания. Элемент массы системы обозначим через Chnl. Введем сфе-
Момент сил прйтяжеНиЯ
155
рическую систему координат так, что ее начало совмещено с центром тяжести крутильной системы. Расстояние элемента массы dm1 тела Q1 от начала координат обозначим через Л; ф — угол в горизонтальной плоскости между
Рис. 26. К выводу момента сил притяжения между массами, имеющими произвольную форму и плотность.
направлением на элемент dm1 и некоторым исходным направлением (рис. 26); Y1 — угол в вертикальной плоскости, между горизонтальной плоскостью и направлением на элемент dmv Аналогично выбраны координаты элемента dm2 другого тела Q2, которое в нашей задаче будет играть роль притягивающей массы. Эти координаты (Р> Ya) отмечены на том же рис. 26. Расстояние между элементарными массами dm1 и dm2 обозначим через г, а угол между радиусами-векторами Лир через а. Потенциал взаимного притяжения элементарных масс dm^ и dm2 запишется так:
__fdm.idm.2__ fdmidmt
r YІ?2+ р2 - 2Др cos <х '
Вводя обозначение Rlp = а 1, перепишем потенциал dV в виде разложения по полиномам Лежандра:
OO
dv = Idm^dm1 2 fl"P„(cosа). (71)
^ п=0
156
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ [ГЛ. V
Поскольку cos а выражается по формулам сферической тригонометрии через координаты элементов йщ и йіщ —
— (ф. Yi) и (1F- Та):
CO» (Л = COSlJ) COS ф + Sin ф sin COS (T1 — T2), то по теореме сложения сферических функций получим Pn (cos <х) = Pn (cos i|))P„ (cos ф) +
+ 2 S . S-I Р™ (cos (COS ф) cos т (Ti—Ta). (Щ
•m—1 ' ~ '
гдеР™ — присоединенные функции Лежандра, которые выражаются через производные полиномов Лежандра.
Потенциал взаимного притяжения (71) элементарных масс йтх и dm2, учитывая равенство (72), можно переписать в виде
+ 2S ~п- Pn (cos ?) Pn (cos Ф) cos т (Гі — Га)]-
m=l
Теперь легко определить момент сил притяжения, действующий на крутильную систему, относительно оси нити:
Далее введем новые переменные, связанные с углами ф Иф
Ф = ,Ф + Фі.,
Ф = ф + фі>
так, что углы ф и of) представляют соответственно углы отклонения относительно прежнего исходного направления некоторых прямых, связанных жестко с телами Q1
Tl
CO
dV = 2 an[Pn (cos ?) Pn (cos ф) +
n=0
n
d V jdmxdmi
ch)> p
Tl
dP™ (cos ?)
+ 2S Sr+Sr(cos ф) C03 m (Tl ~Гг)
m=x "r^
с?г|)
МОМЕНТ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ
157
и Q2. Углы же и Cp1 отсчитываются относительно указанных прямых.
Теперь можно написать момент сил притяжения относительно оси нити крутильной системы для обоих тел Q1 и Q2, составленных из элементарных масс и dm2:
Pn (cos (ф -f фх)) X
ч rfPn(C0S(t+ ti)) , 0 (п-т)1 пт, , , „
«*Ф ^1 ^ (ф + ф1^ х
dpn (cos (% + ?))
Xcoszre(Y1-T3)'
Cf1C3-R1P sinnsin Гз X X d^d^d^d^dRdp,
где O1 и (T2 соответственно плотности тел Q1 и Q2, которые вообще могут быть функцией координат.
ФункцииР™ (cos (я)? +%)) иРп (cos (ф+фі)) можно с помощью теоремы сложения сферических функций выразить через произведения присоединенных функций Лежандра, но аргументы их г|з, ^1, ф, фх будут уже разделенными. Поскольку интегрирование ведется по переменным фі.ед, ylt Y21 R> Р» то момент сил притяжения SRnp оказывается функцией переменных я)) и ф. Разлагая момент сил притяжения SRnp в ряд по степеням малого угла отклонения ф, получим выражение
Ф /д (ф, ф)\
SRnp (Ф ,^)=(SRnp (Ф,?)),=0 + п ( --? - - ]ф=о +
Ф2 ґд2Шпр (ф, t)\
+ 2l{-----ЇЇф----Jv=O + "'' (73)
в котором коэффициентами при степенях Ф являются функции угла гр. В случае симметрии притягивающихся масс относительно нити момент сил притяжения (73) будет содержать только нечетные степени угла ф.
Таким образом, момент сил притяжения в случае тел произвольной формы и плотности сводится к выражению (73), аналогичному равенству (64). Рассматривая угол ф как функцию времени, можно использовать выражения
158
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ [ГЛ. V
(64), (73) момента сил притяжений для описания гравитационного поля притягивающих масс, совершающих круговое движение вокруг оси нити крутильной системы. Характер крутильных колебаний в неоднородном и изменяющемся во времени гравитационном поле сильно усложняется.
