Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
МЕТОД ЗАРАДНИЧЕКА
123
Прибор Зарадничека, как уже упоминалось, состоял из двух крутильных весов. Одни из них — внутренние — имели легкое алюминиевое коромысло длиной 40,6 см и диаметром 3 мм, на концах которого укреплялось по свинцовому шару весом 94 г каждый. Коромысло подвешивалось за середину на тонкой нити, изготовленной из платино-иридиевого сплава. Длина этой нити была 30 см, а диаметр ее 20 мк. Период собственных упругих колебаний этих малых крутильных весов был порядка 500 сек. Другие весы, внешние, выполнены в виде П-образной латунной трубки, горизонтальная часть которой имеет длину 60 см, а вертикальное плечо 55 см. На нижних концах вертикальной части П-образного коромысла крепятся свинцовые шаровые массы по 11,3 кг в каждой. Это второе коромысло подвешивалось за середину на нити из стальной проволоки длиной 0,5 и 2,0 л. Весы располагались так, чтобы оси нитей обеих крутильных систем совпадали. Выведенные из положения равновесия весы совершали упругие колебания вокруг вертикальной оси. Помимо упругих сил закрученной нити, на колебания влияла сила притяжения между массами, укрепленными на концах коромысел. Влияние масс больших весов на колебание малых было существенным, обратное же — весьма незначительным. В этом смысле рассматривалась ограниченная задача.
Приведем здесь теорию прибора для определения постоянной тяготения резонансным методом в соответствии с работой Зарадничека [106]. Выберем прямоугольную систему координат xyz (рис. 19) с началом в центре тяжести О коромысла внешних крутильных весов. Ось z направим вдоль оси нити, плоскость хОу пусть совпадает с плоскостью колебаний этих весов. Координаты центра шаровых масс Af, укрепленных на конце коромысла, равны (+ /J1Cos ф, +-R1Sin ф, 0), где обозначения R1 и ф ясны из рис. 19. Вторая крутильная система расположена так, что центр тяжести ее коромысла с массами т находится также на оси z на расстоянии h от начала координат. Координаты центра масс т равны (+i?,cos ty,+_fl,sin г[?, h). Обозначения /J2,^ и h также приведены на рис. 19.
Момент сил притяжения между шаровыми массами т и M на концах коромысел малых и больших крутильных
124
ДРУГИЕ ОПЫТЫ
[ГЛ. IV
весов выразится так:
SK111, = IR1R2ItiMf sin (я|5 — cP) — Тії],
где / — постоянная тяготения, T1 и г2 — расстояния между притягивающимися массами, соответственно от M до
г
Рис. 19. Схема больших и малых крутильных весов для определения постоянной тяготения методом Зарадничека.
ближайшей массы гп и от M до отдаленной массы т:
r\ = R\ -f R\ — IR1R2 cos (я|> — <р) + ^2,
г| = R\ + Rl + ZR1R2 cos (ip — ф) + №.
Если предположить предварительно, что колебания обоих крутильных весов малы, то
sin(l|) - ф)^Я|?— ф,
COS (яр — ф) ^ 1,
а дифференциальное уравнение вынужденных колебаний коромысла малых весов с массами т можно записать в следующем виде:
7 Sr + 2P ж + = ZmMR1Rj Д (Ч> —Ф), (52)
где J — момент инерции коромысла с массами пг относи-
МЕТОД ЗАРАДНИЧЕКА
125
OQ
тельно оси нити, zp — момент сил сопротивления воздуха, Тф — момент упругих сил закрученной нити,
Д = [(і?! — Я2)2 + й2р/2 — [(R1 + /?,)* + /»»]- 3/2. Уравнение (52) перепишем в виде
;5 + 2^+Лр = ^С08 0», (53)
где для краткости введены следующие обозначения:
D = т + ZmMR1Rif • Д, (54)
E = ImMR1R^fA, (55)
ip = Ip0 cos Qt,
¦фо — амплитуда колебаний больших крутильных весов, Q — их частота.
Решение уравнения (53) складывается из двух частей. Одно соответствует вынужденным, а другое — собственным колебаниям. Последние в силу наличия демпфирования скоро исчезают и остаются только вынужденные, определяющиеся следующим равенством:
Ф = ф0 cos (Qt + є).
Амплитуда вынужденных колебаний ф0 определяется соотношением
*0 Г----------------ч
J у [2ctQp + [ш* — Q2I2
где a = P//, (O0 = D/J — частота собственных колебаний малых крутильных весов, а фаза є определяется следующим соотношением:
2aQ
tSe= ^ЗпГ*
Резонанс наступает при соотношении частот
Q2 = ©а — а2,
С 7
откуда амплитуда вынужденных колебаний ф0 при
126
ДРУГИЕ ОПЫТЫ
[ГЛ. IV
резонансе равна
гп„ . =
Ф° рез Jol V4й3 + а* 1
Напомним, что интересующая нас постоянная тяготения содержится, как показывают равенства (54) и (55), в величинах EthD. Они-to и должны быть определены из опыта, а уже затем по ним, зная массы т и M и расстояния Rl И R2, можно вычислить постоянную тяготения /.
Помимо определения постоянной тяготения с номощью резонансного метода, Зарадничек провел измерения этой постоянной обычным динамическим способом. Периоды колебаний крутильной системы малых весов в ближнем и дальнем положениях притягивающих масс были соответственно равны 480е и 506*. В работе [106] приводятся три значения постоянной тяготения, определенные динамическим способом: 6,53 -IO-11; 6,71 • 10-11; 6,55 -IO"11 м3/кг -сек2.
В результате измерений постоянной тяготения резонансным методом Зарадничек получил значение постоянной тяготения, которое по точности было не лучше того, что было им получено динамическим методом. Вот данные, соответствующие резонансному методу:
