Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
+ + I--- sinФ -I cosФ = 0. (47)
Здесь J — момент инерции маятника относительно оси качания. Он равен J = J0 + Ms2, где J0 — момент инерции относительно центра тяжести, s — расстояние от центра тяжести до мгновенной оси качания. Момент инерции J оказывается переменным вследствие закругления ребра призмы. В уравнении (47) P — коэффициент пропорциональности в члене, представляющем момент сил сопротивления воздуха движению маятника. В теории Вильзинга этот момент предполагался пропорциональным первой степени скорости движения маятника. Введем обозначения:
є2 = TYsHMi-M1I1)2+
SWrro
^ ~ arctg g (Ml-MxhY Уравнение (47) можно переписать в виде
g + 2P ^ + e*sin(l> + q>) = 0.
Обозначив ф + ф = 0, имеем
§ + +«‘Sine = 0. (48)
Вследствие малости угла 0 в уравнении (48) выражение sin 0 можно заменить через 0. Решение линеаризованного уравнения Вильзинг получает в виде
0 = 006-^(008^82-P2 t-Ь sin /E2-P2O, (49)
118 ДРУГИЕ ОПЫТЫ [ГЛ. IV
а период колебаний, соответствующий (49), записывается так:
Т “ ~ 2л Vg (Mi - M1I1) I1 ~ T С (mi -M1I1)) ]х
Х C1 Sr (А// — AflZi) I * ^
Период колебаний T Вильзингу нужен был только для определения величины g(Ml —M1I1). Чтобы исключить из соотношения (50) величину момента инерции /, Виль-зинг находил еще один период колебаний этого маятника с укрепленной на верхнем его конце дополнительной шайбой. Период колебания маятника с укрепленной шайбой может быть записан в следующем виде:
т = 2л l/______________J-fraidI х
1 V g (Ml — MlZi) + g (т& — m'rf')
х h-f........«у. .m_______________^_______1 (51)
xLi Vjr (Л« — Afili)/ JL g (Ml-M1IA J’
где Jn1Vi (I1 — масса шайбы и расстояние ее центра тяжести от оси качания, Tc1 и (I1 — масса вытесненного воздуха и расстояние геометрического центра шайбы от оси качания.
Из равенств (50) и (51), пренебрегая членами высшего порядка малости, Вильзинг получил формулу момента силы тяжести:
g(mI — т\) di j mirff \
g (Ml - M1I) = Ti ——(і + я»
Для определения периода колебаний моменты прохождения бликов от зеркала, укрепленного на трубе маятника, отмечались через визирную нить отсчетного телескопа с точностью до 0е,1.
При обработке вводился ряд поправок за приведение периода к бесконечно малым колебаниям, за притяжение цилиндрами трубы маятника и других его деталей, за температуру, за выталкивающее действие воздуха и т. д. Поскольку период колебаний маятника в приборе Виль-зинга очень сильно зависел от амплитуды колебаний из-за
§ 21J
ОПЫТЫ С ВЕРТИКАЛЬНЫМ МАЯТНИКОМ
119
непостоянства радиуса кривизны ножа маятника и деформации системы нож — опорная площадка, то было проведено тщательное исследование этой зависимости. Как показал опыт, затухание происходит по закону, заметно отличающемуся от получаемого в предположении, что сила сопротивления прямо пропорциональна первой степени скорости движения маятника. Период колебаний маятника хорошо представлялся формулой вида
T = T0 [1 + Tl (афо — &фо)],
где а, b — некоторые постоянные, а <р0 — амплитуда колебаний. Вильзинг обнаружил также зависимость поправки за амплитуду от материала ножа и опорной площадки. Поправка за амплитуду для твердых стальных подушек но величине близка к поправке, соответствующей агатовым подушкам. При подушках из мягкой стали она в три раза больше. Обрабатывая наблюдения, Вильзинг учел также и то обстоятельство, что при большом затухании колебаний среднее положение маятника не может быть получено простым осреднением четного числа последовательных экстремальных отклонений маятника.
Входящий в равенства (50), (51) момент силы притяжения SRlip складывается из момента притяжения каждым стальным цилиндром верхней и нижней шаровых масс маятника, коромысла и ряда других деталей маятника. Кроме этого притяжения, необходимо учитывать притяжение маятника направляющими цилиндров, которые в процессе опыта также изменяют свое положение. Поскольку часть момента сил притяжения, обусловленная притяжением трубы, ножа, зеркала и других деталей маятника стальными цилиндрами не могла быть вычислена с достаточной точностью, Вильзинг стремился ее исключить. Поэтому он дополнительно определял период колебаний маятника со снятыми шаровыми массами для нахождения указанной части момента сил притяжения. Момент сил притяжения выводился Вильзингом для некоторого зафиксированного среднего положения маятника, а затем уже учитывалось его изменение при отклонении маятника от этого положения.
Поскольку потенциал притяжения цилиндра конечной длины для точек его оси описывается конечным аналити-
120
ДРУГИЕ ОПЫТЫ
[гл. IV
ческим выражением, Вильзинг представил потенциал притяжения в виде ряда по степеням обратных расстояний и полиномов Лежандра. В предыдущей главе мы уже приводили аналогичные выражения, выделенные Хейлом, который, по-видимому, не был знаком с работой Вильзинга, сделанной за три десятилетия до его исследований. Хейл считал, что представление потенциала притяжения кругового цилиндра конечной длины в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра получено им впервые. Следует отметить, что Вильзинг эту задачу решил нисколько не в меньшей мере. Коэффициенты упомянутого ряда Вильзинг определял из условия, что они тождественны коэффициентам разложения потенциала притяжения цилиндра для точки, расположенной на его оси.
