Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
В приборе Этвеша для определения постоянной тяготения притягивающие массы были изготовлены из свинца в виде двух параллелепипедов с основанием ЗО X 30 см и высотой 60 см (рис. 6). Соответствующие грани обоих параллелепипедов были параллельны. В пространстве шириной 30 см между параллелепипедами устанавливалась крутильная система. Период колебания ее при расположении коромысла вдоль линии установки параллелепипедов был равен 641*, а при поперечном расположении — 860*.
Аналитическая теория прибора, разработанная Этве-шем, заключалась в следующем. Совместим начало пря-
Рис. 6. Общий вид прибора Этвеша.
1 — притягивающие массы, 2 — коромысло с притягиваемыми массами, s — нить крутильной системы,
4 — КОЖУХ.
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭТВЕША
(53
моугольной системы координат х, у, z, ненодвижно связанной с параллелепипедом, с центром тяжести крутильной системы. Ось z направим вниз по нити, ось у — параллельно внутренним граням параллелепипедов (см. рис. 6), а ось х —перпендикулярно к осям у и z. Кроме системы координат х, у, z, введем систему прямоугольных координат |, г), I с центром также в точке О, неизменно связанную с коромыслом крутильной системы. Ось ? — направим по оси z, ось 5 — вдоль продольной оси коромысла, а ось г| — перпендикулярно к осям | и ?. Координаты х, у, z связаны с координатами 5, т), ? следующими соотношениями:
Здесь а — угол между направлениями оси х и оси ?.
Момент относительно оси нити силы притяжении коромысла с шаровыми массами и притягивающими массами включая массу Земли, равен
где W — гравитационный потенциал притягивающих масс, a dW/dx и dWjdy — соответствующие силы притяжения по осям х и у, Q — объем коромысла с его притягиваемыми массами. Разлагая величины dWjdx и dWjdy в ряд по степеням расстояний от центра тяжести крутильной системы и переходя к новым переменным g, Г), ? с помощью соотношений (24), получим момент сил притяжения. После некоторого упрощения с достаточным приближением можно считать его равным
где J — момент инерции крутильной системы относитель-
но оси ?, (O2Wjdyi)о, (O2WlIdx2)0 и (d2W/dxду)0 — вторые
производные потенциала притяжения окружающих масс, включая притягивающие массы, в центре тяжести крутильной системы относительно X и у.
X = I cos а — г] sin а, у = Isina -f- t]cos а,
(24)
z = C.
64
КРУТИЛЬНЫЕ ВЕСЫ
[ГЛ. II
Момент упругих сил закрученной нити Этвеш полагал пропорциональным углу поворота ф коромысла
(ф) = ТФ.
где т — упругая постоянная нити. Угол ф связан с углом а соотношением
а = а0 + ср;
здесь а0 — азимут коромысла, соответствующий иезак-рученной нити.
Дифференциальное уравнение крутильных колебаний системы в гравитационном поле окружающих масс имеет вид
3 S + ®пр(ф) + SM«P) = °. (25)
Учитывая равенство (19), можно уравнение (25) переписать в виде
+ п\ + С = О,
где
, т / дЧУ d2W \ 0 , о / d2W \ . „
n^-T- ----^J0cos2otO + H^wJosm2aft'
„ I / d2W d2W \ . о , / d2W \ 0
С = T- -----------ЭР- Jft sln 2aO + ( ^J0 C0S 2а°-
Период собственных колебаний крутильной системы равен
2л
W - ~Ш~Jocos 2а»+2/ \d7ty J0 sin 2а
о
Легко видеть, что если провести измерения периода T в двух азимутах, отличающихся друг от друга на 90°, то получим
„ /1 і \ 0 / дт дт \ „ - ,
ХТ\ Т\ / ( ду* ft, JoCOS
+ 4(a?|-)osin2a9’ <26>
где Tl и Ti —периоды собственных колебаний в упомянутых азимутах.
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭТВЕША
65
В этих формулах не учитывается изменение периода колебаний из-за неизбежного сопротивления окружающего воздуха движению коромысла. Поскольку Этвеш свои эксперименты проводил не в вакууме, то он принимал сопротивление воздуха при малых скоростях движения коромысла пропорциональным первой степени скорости движения и вводил в измеренный период поправку. Истинный период должен быть равен
где То — измеренный период собственных колебаний, P — логарифмический декремент колебаний, равный логарифму отношения амплитуд двух последовательных колебаний.
Для выбранных притягивающих масс Этвеш вычислил производные потенциала притяжения для центра тяжести крутильной системы и привел уравнение (26) к виду
3x2 (^- 5т)= 13,427а/(1-0.
Здесь добавлена по сравнению с уравнением (26) дополнительная поправка, пропорциональная е'. Она обусловлена необходимостью учитывать, кроме притягиваемых масс, и массу коромысла. Величина е' у Этвеша не превышала 0,01.
Этвеш провел 59 определений величины (1/Т? — 1 /Tl), причем каждое из определений состояло из восьми серий колебаний в продольном и поперечном направлениях. Среднее значение этой величины оказалось равным 0,00000108031 сек~2. Разность периодов T1 и T2 была достаточно мала. При T = 641® разность между максимальным и минимальным значениями периодов составляла всего О8,31. Для T = 860s эта же разность равнялась Is,03.
Опыты Этвеша показали, что присутствие воздуха изменяло период на значительно большую величину, чем это можно было ожидать из исследований Бесселя с маятниками. Например, период колебаний коромысла в среде
