Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
интенсивность света, попадающего на фотоэлемент R (помещенный .в фокусе
линзы Ъ2):
а) для монохроматического источника (а0),
б) для случая,, когда спектр содержит щ и аг.
2. Выражение для интенсивности можно представить в виде суммы постоянного
члена (средняя интенсивность) и члена, зависящего от Д. Эти два члена,
умноженные на 2, образуют ын-терферограмму 1(A).
Фиг. 3.1
24
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 3
Покажите, что функции В (а) и /(Д) могут быть получены одна из другой при
помощи преобразования Фурье. Для упрощения этих расчетов полезно
искусственно ввести спектр В(-а), состоящий из отрицательных частот и
симметричный спектру В (а). Затем можно использовать следующее свойство:
фурье-иреобразование четной функции есть четная функция. Во всех этих
задачах функции нормируются.
Приложение. Опишите и вычислите интерферограмму для следующих случаев:
а) Источник испускает монохроматическое излучение В (его) = б(ст - сто).
Р) Луч является дублетом: В (а) = сы • б (а - аО + а2- б (а - - сгг) (ai
и аг - постоянные, меньшие единицы), у) Луч имеет гауссову форму
II. Движение зеркала ограничено. Разрешающая сила
Величина Д может изменяться только между нулем и максимальным значением
L. Спектральное распределение, которое получается, если в прибор
поступает строго монохроматическое излучение с волновым числом сто,
спектроскописты называют "инструментальным контуром". Исходя из
интерферограммы, •ограниченной величинами Д = 0 и Д = L, получите
инструментальный контур и представьте его графически.
Лучи падают нормально к поверхностям зеркал.
Для излучения с волновым числом о две плоские интерферирующие волны имеют
разность фаз
В Ь2 происходит интерференция, которая регистрируется в F.
I. Рассмотрим идеальный случай, когда движение зеркала Мх не ограничено
1. Пусть Л будет суммарной интенсивностью, полученной в R.
а) Монохроматический источник
РЕШЕНИЕ
Ф = 2яоД.
(1)
/* = В (ст0) cos2 itOoA = - fo*) (1 cos 2яст0Д).
(2)
ЗАДАЧА 3 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ 25
б) Полихроматический источник Вклад в интенсивность излучения от
каждой длины волны в интервале da равен
dlt - В (a) cos2 яаД da,
следовательно,
<Тг
jt = ^ в ^ [1 -f- cos 2яоД] da. (3)
Oi
2. Таким образом, интерферограмма имеет вид
о,
I (Д) = ^ В (a) cos 2яаД da.
с.
Имеются только положительные частоты, поэтому
со
I (Д) = ^ В (a) cos 2яаД da. (4)
о
В качестве примера на фиг. 3.2 приведена функция В (а). Построим
искусственный спектр В(-а), симметричный предыду-
?(б)! .
А~ К\Л
°1 °2 ^ ^ о' +ё1
Фиг. 3.2 Фиг. 3.3
щему, в области отрицательных частот. Если Вр(а)-четная часть функции В
(а), то можно написать (фиг. 3.3)
В"==|[В(ст) + В(-<т)]. (5)
Тогда уравнение (4) может быть представлено в виде
+ оо +оо
I (Д) = ^ Вр (сг) cos 2ясгД da= ^ Bp(a)el2noAda. (6) - 00 -00
Если интерферограмма точно известна для величины Д, изменяющейся между 0
и оо (в действительности между -сю и +оо, так как она симметрична), то
спектр может быть
26 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 3
достроен при помощи преобразования Фурье:
: +00 +00
Вр(ст) = \ I (A) cos 2лстЛ rfA = \ I (Д)е-/2яаД i/Д,
-со -со (7)
Вр(о)-^1( А).
Примеры (см. приложение А относительно преобразования Фурье). Если
известна функция В (а), то можно получить
Вр(о), а отсюда и интерферограмму с помощью преобразования Фурье (фиг.
3.4).
а) В(ст) = 6(ст - (Т0),
Вр (ст) = б (сг + сг0) + б (ст - ст0) -> / (А) = cos 2яст0Д;
Р) В (а) = at6 (а - ст^ + а2б (а - а2) -> .
/ (А) = at cos 2najA + а2 cos 2лст2 А.
В специальном случае, когда ai = a2, минимумы огибающей равны нулю.
у) В (ст) = exp [- л ( g rfg--)2] = б (ст - сто) (r) ехр[- п )2].
ЗАДАЧА 3
ИНТЕРФЕРЕНЦЙЯ
27
Применяя теорему свертки (приложение А), получаем I (А) = cos 2ясгоД •
e~n(da'A)'.
'Огибающая имеет ширину 1 /do (фиг. 3.5).
II. Разрешающая сила
1. Ограниченная интерферограмма (О < Д0 <С L)
Эта интерферограмма может быть представлена функцией /'(А):
I' (А) = / (А) • А (А), (8)
где
( 1 для - L <А < + L,
( ) -I 0 для Д<-[ и A>i,
Используя теорему Парсеваля, можно написать
Gp (а) = F. Т. [/' (До)] = F. Т. [/ (Д0)] (r) F. Т. [F(A0)].
Преобразование Фурье для щелевой функции имеет вид
sin 2л oL
F. Т. [F (А)]
2 noL
следовательно,
sin 2л (q - - q0) L , sin 2л (ст + q0 )L 2л (a - (To) L 2л (ст +
ст0) L
(10)
(П)
(12)
l'(a) = I(A)F(A)
Инструментальный контур приведен на фиг. 3.6.
G(o)
sin 2л (ст - ст0) L >
2я (ст - сто) L '
(13)
здесь G(a)-спектр, полученный от строго монохроматического источника
излучения; он имеет ширину Да ==г XUL, Тогда
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 4
разрешающая сила для излучения ао описывается выражением
Таким образом, разрешающая сила пропорциональна числу зарегистрированных
полос N.
Численный пример:
L = 103, % - 0,5 мкм,
/?==^L = 4000-
ЗАДАЧА 4
Интерферометр Маха
В этом случае изучается интерференция отдельных лучей, как показано на
фиг. 4.1.
Р'
Фиг. 4.1
Пусть В и D - два зеркала с отражательной способностью, равной единице; А
и С - два идентичных делителя лучей, расположенных, как показано на фиг.
