Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
частотой со. Эта угловая частота принимает значение сог, если имеют место
лишь короткодействующие взаимодействия.
Найдите дисперсионное выражение ег(со) из уравнений (1),
(2) и (3). Покажите, что оно может быть записано в виде
где. es - относительная диэлектрическая проницаемость для
электростатического поля (со ->0), а е<х, - относительная диэлектрическая
проницаемость для высоких частот (со^ со<).
Изобразите кривую ег(со). Пусть соi - частота, для которой гг = 0.
Найдите соотношение со i/сat как функцию es и е-с.
Нарисуйте кривую зависимости коэффициента отражения R от со при
нормальном падении света на кристалл.
Пусть сог-частота, для которой R = 0. Найдите соотношение между сог, соt,
es и ех.
Приложение: для NaCl экспериментально найдены такие значения; Лг = 31
мкм, = 61,1 мкм, es = 5,62 и е" = 2,25.
С какой точностью выполняется предыдущее соотношение?
Экспериментальные кривые ег(со) и R(a) значительно отличаются от
теоретических кривых, найденных в разд. 1 и II. В частности, ег остается
конечной величиной при со = сое, и имеется максимальное значение R,
меньшее единицы, при определенной частоте сот. Чтобы интерпретировать эти
результаты, в уравнение движения (1) введите член, учитывающий тормозящую
силу -ydu/dt. Что произойдет с этим уравнением, имеющим периодическое
комплексное решение? Что произойдет с уравнением (4)? Предположите, что
отношение у/соt мало и рассмотрите, как это влияет на кривую R(со).
Хэвлок показал, что это выражение стремится к виду
(4)
II
III
(5)
С помощью этого выражения найдите %т для NaCl и сравните ее с
экспериментальным значением, равным 52 мкм.
266
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА R?
РЕШЕНИЕ
I
1. В рассматриваемом кубическом кристалле одно и то же уравнение
описывает движение вдоль направления любой из осей куба х'х, у'у или z'z
(фиг. 52.2). Из-за кубической симметрии кристалла коэффициент k0 одинаков
для любого направ-
ления перемещения. Уравнения движения обоих видов ионов имеют вид
Умножая эти уравнения поочередно на т_ и т+, затем вычитая одно из
другого и разделив полученный результат на т+-\-т, получаем уравнение
(1). Дипольные моменты, обусловленные двумя видами ионов, равны
соответственно.
Первый член соответствует смещению иона, а второй - его деформации.
Поскольку в единице объема содержится 1 /V пар ионов, поляризацию Р можно
получить умножением суммы ди-польных моментов на 1/У, после чего и придем
к уравнению (2),
2. Гармоническое решение уравнения (1):
Если поле Е равно нулю, т. е. если нет дальнодействующепт взаимодействия,
это уравнение приводится к виду
Z
<!>
у Фиг. 52.2
т+ -jp- - - k0 (и+ - и~) + еЕ и т~ - - k0 ("_ - и+) - еЕ,
еи+ + а+Е и - ей- -j- а-Е,
- со2и = -
- со2и = -
kg
ц
и - - со\и,
отсюда
и е 1
ЗАДАЧА 52
РЕФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
267
Диэлектрическая проницаемость ег получается из соотношения
(3), так что, используя (2), находим
Ионы слишком тяжелы, чтобы следовать за полем в случае оптических частот,
и поэтому в уравнении (7) надо учесть только первые два члена:
В электростатическом поле Es (со = 0) уравнение (7) принимает вид
Из (7), (8) и (9) получаем дисперсионное соотношение (4)
При со = сог получаем ег = оо. Значение ег положительно при 0 -< со < сог
[второй член в правой части (4) при этом положителен] и пои со/ <Т со.
где со" такое значение
- jk; п - вещественный показатель преломления, a k - коэффициент
поглощения; п принимает действительные значения при частотах, меньших со/
и больших щ. Между этими пределами значения, принимаемые п, чисто мнимые
(фиг. 52.3).
eaV Е '
е и
(7)
(8)
и е
Е0 цш? '
откуда
О)
нии втор< цательной чем Еоо ш Тогда со/ так что
Показ:
¦= V(r)T является, таким образом, комплексной величиной: п = п -
Фиг. 52.3
268
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 52
II
Коэффициент отражения при нормальном падении можно получить с помощью
обобщенной формулы Френеля
D - ( п~] V - (n-\Y + k2 к V n + 1 У (п + 1)2 + й2 •
(11)
Между значениями со( и сог, где п - чисто мнимая величина, R = k2jk2 = 1
(фиг. 52.4) и имеет место полное отражение.
Фиг. 52.4
R становится исчезающе малым при п = I, или er = I, так что для данной
частоты сог, используя (4), получаем
/ оз г \2 _ е5 - 1
(r)оо - ^
Приложение. К = 2лс/со, поэтому С другой стороны,
es -
(12)
о cq
е<ю-1 " 1,25 ~ d*b9-
Соотношение (12), таким образом, выполняется с точностью 5%.
III
Для гармонического решения, записанного в комплексной, форме, уравнение
движения
d2u , du , г,
V~dF + Y ~HT - k<fi = eE
dt
ЗАДАЧА 52
РЕФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
269
принимает вид
- Сй2"=(- 0)2 + /-^-со) и + ^-Е.
Теперь достаточно заменить а^ на со2 + (/y/M') и в расчетах ко второй
части этой задачи, чтобы получить вместо (4) дисперсионное соотношение ,2
- _ :и\2 _ -------I es - е0
п2 = (п - jkf = е, = е0
1 - (со/со*)2 + (/у/рш*) ("/"<) Л
8оо +
- со2 + / (у/р) со
ИЗ)
где Л = (е5 - 8оо)(r)? является константой. Разделяя действительную и
мнимую части комплексного показателя преломления в (13), находим
