Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
от нуля.
Выведите выражения для действительной и мнимой частей комплексной
диэлектрической проницаемости.
а) Рассмотрите случай io>g. Найдите действительную и мнимую части
диэлектрической проницаемости. Сравните их с результатами, полученными в
разделе III, 1 и найдите показатель затухания как функцию у. Что обращает
на себя внимание в этом выражении?
б) Рассмотрите случай со <С g. Обсудите дисперсионное выражение для этого
случая. Найдите длину волны Я0, для которой комплексная диэлектрическая
проницаемость равна нулю. Обсудите свойства среды для Я > Я0 и Я < Я0.
3. В случае 111,2, б выразите комплексную диэлектрическую проницаемость
как функцию Яо и Я и рассчитайте коэффициент отражения R среды при
(Я/Яо)2 1 и при (Я/Я0)2Й> 1.
4. Найдите силы осцилляторов для Cs, Rb, К, Na и Li при условии, что
соответствующие значения Яо равны 4400, 3600, 3150, 2100 и 2050 А и число
свободных электронов в 1 м3 равно 0,85-1028; 1,1-1028; 1,3-1028; 2,5-1028
и 4,5-1028 соответственно.
РЕШЕНИЕ
I
Осциллятор обладает электрическим дипольным моментом р - es, где s -
амплитуда движения электрона. Поскольку движение является гармоническим,
имеем р =- со2р. Так как to0 - величина порядка 1015 с-1, можно взять
среднее значение
9 Зак. 173
258 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 51
{р2) = -^-р2 в выражении для потери энергии в единицу времени
(1)
dt 12 яе0с3
Энергия осциллятора
Г-(2)
и тогда
d\V иь.е2
~df = ~ 6леасгте ^
Таким образом, энергия уменьшается во времени экспоненциально:
Г = Г0ехр(-?),
6 ле0с3те Т 2~~2 •
аое
т - постоянная времени. За время т энергия уменьшается на 1/е = 0,368
часть своего первоначального значения W0. Для ви-
димого излучения (юо " 1015) это время порядка 10~7 с. Следовательно, оно
содержит большое число периодов. Движение осциллятора является не чисто
синусоидальным, а скорее синусоидальным с экспоненциальным затуханием.
Оно может быть найдено при решении уравнения
где искусственно вводится сила трения meg(ds/dt), пропорциональная
скорости; g есть коэффициент затухания. Чтобы найти его, приравняем
потери энергии (3) к работе, производимой искусственно введенной силой за
единицу времени:
ds ds
ЗАДАЧА 51
РЕФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
259
где со является псевдоугловой частотой, а = - gl2. Так как
движение затухает медленно, можно допустить, что со = со0.
Среднее значение этой работы, совершаемой за время большого числа
псевдопериодов, равно
1. Под влиянием поля Ey ^EmSinco^ электрон подвергается действию силы
eEg и совершает движение, уравнение которого,, выводимое из уравнения
свободного движения (4), имеет вид
Так как напряженность поля Еу имеет синусоидальный характер, запишем ее
выражение в комплексной форме Етехр(/соО> а у заменим комплексной
функцией у = ут ехр (i(p)exp (jat), изменяющейся с той же угловой
частотой, что и частота приложенного поля. Уравнение (6) дает
и индуцированный момент имеет комплексную амплитуду
Излучение от этого синусоидального момента р эквивалентно излучению
диполя Герца. Среднее значение потока, излучаемого им в пространство,
имеет вид
Если атомы независимы, как в случае идеального газа, их излучение
некогерентно и среднее значение излучаемого потока в единице объема есть
А^(Ф). С другой стороны, энергия падаю-
Приравнивая к (3), получаем
г
т
(5)
II
(6)
v =_______________________________,
те (o)q - со2 + igсо)
Р т = - еУт
те ((r)0 - (r)2 + /g(c)) '
(7)
модуль которой равен
12яе0с3/л2 [((c)о - со2)2 + gV] *
260
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 51
щего монохроматического излучения, проходящего через единицу поверхности
в единицу времени, дается выражением
Отсюда находим
N( Ф) ______________Naiei__________________________ .
(8) 6яе2с''/п2 [(а>2 - со2)2 + g2ca2]
2. Если 0)2 со2, выражение (8) сводится к следующему:
ЛГ(Ф) _ Ма4е4 _ 16n3eiN 1
(8) 6Я8дС4/П2Юд б8д/П2Юд
так как со = 2лс/Х. Видно, что интенсивность рассеяния, при прочих равных
условиях, пропорциональна Я-4.
Для N = 1028 м_3, со/соо = 0*1 и отношение (8) имеет значение
Ы(Ф) 1028 • (1,60 • 10-19)4 -10-4 - (36л • 109)2 1П-5
(8) ~ 6it • (3 • 108)4 ¦ (9,1 • 10-31)2 O.OCJ.1U •
Отношение интенсивностей рассеяния голубого и красного света равно
(ЯКр/Яг)4, если (е) для них имеет одинаковое значение, так что
3. Если со- <С со2, что имеет место для рентгеновских лучей, и
поскольку в рассеянии участвуют все Z электронов атома, в единице объема
содержится NZ осцилляторов и (8) принимает вид
N^e~ = 3,3 • 10~33NZ. (10)
(8) 6яе2с /я2
Для 2эСи:
= 3,3 • 10~33 • 8 • 1028 • 29 = 7,65 • 10"4.
Для 28°2РЬ:
= 3,3 • 10~33 • 3 • 1028 • 82 = 8,12 • 10"4.
Эти два значения почти равны. Если находят коэффициент рассеяния единицей
массы путем деления выражения (10) на плотность р рассматриваемого
элемента объема, причем р = NA/91 (где А - атомная масса, а 91 - число
Авогадро), то отношение
N ((r)) _____ (Ф)______о о 1 п-33<Г) Z. /ill
ЗАДАЧА 51
РЕФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
261
зависит только от отношения Z/A атомного номера к атомной массе
