Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
NaCl 1,537 1,568
КС1 1,483 1,510
определите число частиц, которое должно приходиться на длину волны, чтобы
объяснить дисперсию, обусловленную описанным выше механизмом. Применим ли
этот механизм к световым волнам?
РЕШЕНИЕ
1. Уравнение движения п-й частицы
rf2s
т = - k (sn - s"_,) - k {sn - sn+l) = k (s"_! + s"+1-2s"), (1) где k -
коэффициент упругости в законе Гука,
ЗАДАЧА 47
РЕФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
239
Этому уравнению удовлетворяет продольная волна s(t) = S ехр [/ (at -
ах)].
Определяется смещение только для абсцисс nd (п = 1, 2, ...),
соответствующих расположению частиц, следовательно,
sn (t) = 5 ехр [/ (at - and)]. (2)
Подставляя решение (2) в уравнение (1) после деления на sn, находим
та2 = - k [ехр (- jad) + ехр (jad) - 2] = 4k sin2 ,
• @d • jt d /о\
(0= comsm - = com Sin -y, (3)
CO2 = -. (4)
mm w
откуда
где
Угловая скорость а периодически изменяется в зависимости от а. Период
изменения равен а = 2л/А (X = 2d). Для значений волнового числа
2?т
ак - а + К -д (К - целое число)
ш имеет ту же величину, что и для а. Максимальная величина со = сйт
получается при а - nfd. Фиг. 47.2 иллюстрирует эти
со
результаты. Вдоль рассматриваемой цепочки могут распространятся только
волны со значениями угловых частот, заключенных в интервале между 0 и
сйт.
При ехр (}2Кп) = 1 решения (2) для а и ак одинаковы. Если нужно получить
однозначное соотношение между колебательным состоянием и модулем
волнового вектора, необходимо ограничить последний^ интервалом 2nfd.
Обычно выбирают следующий интервал:
240
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 47
Положительные значения а соответствуют волнам, распространяющимся вдоль
цепочки в положительном направлении, а отрицательные - волнам,
распространяющимся в обратном направлении.
Можно найти условия, налагаемые на волновой вектор, другим методом: путем
рассмотрения длины волны. Волна длиной
Фиг. 47.3
Я =12d изображена на фиг. 47.3 сплошной линией, так что о = 2л/12б?, а
пунктирная линия представляет волну
а'=2л (ш + т)'
так что X' = 12с//13. Смещения s одинаковы.
2. При использовании (3) фазовая скорость волн (2) может быть
представлена в виде
со ___ соmd sin ad/2 _ sin ad/2
~2 ad/2 ~ ad/2 ' ^ '
В такой форме функция sin х/х имеет абсолютное значение, изменяющееся в
зависимости от о, как это показано на фиг. 47.4.
Фиг. 47.4 Фиг. 47.5
Фазовая скорость максимальна и равна при о = 0 (Я = оо). Она понижается
до 2/я = 0,635 от этого значения при о = я/d и стремится к нулю вместе с
со при cr = 2njd.
Фазовая скорость в какой-либо точке Р на фиг. 47.2 определяется наклоном
сегмента ОР (фиг. 47.5). Групповая скорость vg - dajdo представлена
наклоном касательной РТ в этой точке.
ЗАДАЧА 48
РЕФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
241
Пользуясь (3), имеем
difjid od ________________________________________ od
vg = -- cos = u0cos -.
Для очень малых значений ст кривую со(ст) можно считать совпадающей с ее
касательной ОА в начале координат. В результате v(p будет постоянной
величиной, и цепочка частиц, которую можно рассматривать как непрерывную
среду в случае распространения волн с длинами X d, не будет обладать
дисперсией. Известно, что это имеет место прн распространении вдоль
струны упругих волн со звуковыми частотами.
3. Выражение (5) можно записать
sin n/N V<? ~~ V° яЩ '
обозначая через N = X/d число частиц, умещающихся на длине волны.
Следующая таблица дает значения в зависимости от N:
N 2 1 8 12 16 20 ОО
v<f>/va 0,636 0,900 0,974 0,989 0,994 0,996 1
Относительные изменения показателя преломления и, следовательно, фазовой
скорости составляют приблизительно 0,02 для NaCl и 0,018 для КС1. Если
для диспергирующей среды используется эта модель, то число частиц,
умещающихся на длине волны, не должно быть больше 10. Однако известно,
что расстояния d имеют порядок нескольких ангстрем и, таким образом, по
крайней мере тысяча атомов умещается на длине волны видимого света.
Теория дисперсии для этой области спектра должна учитывать
внутримолекулярную структуру.
ЗАДАЧА 48
Дисперсионная формула Зельмейера I
Квантовомеханическое выражение для дисперсии показателя преломления
вещества как функции частоты v вдали от области поглощения записывается в
виде
242
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 13
где h - постоянная Планка, е0 - электрическая постоянная, di - дипольный
момент перехода с частотой v*, а N-число молекул в единице объема.
Принимая, что моменты d, создаются гармоническими осцилляторами с
зарядами qu массами т* и энергиями W = h-Vi, покажите, что уравнение (1)
эквивалентно классическому выражению
В этом выражении каждый осциллятор имеет только одну собственную частоту
и осцилляторов столько, сколько собственных частот, fi - численный
коэффициент, называемый силой осциллятора. Найдите выражение для Д в
случае, когда рассматривается только единственный переход. Тогда
окажется, что Д имеет порядок единицы и можно считать, что Д = 1.
Дисперсия показателя преломления водорода при нормальных условиях
