Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
трубке, фронт волны поворачивается на угол
м п \ vg v ф У
где n = c/vф - показатель преломления для излучения с частотой V. При
вхождении в воздух волновой фронт, составляющий с поверхностью малый угол
р, испытывает преломление, которое преобразует угол р в угол а:
а = пр = 4(0/ (-------------------------------1.
r V Vg Оф )
Это вращение при повороте отражателя будет происходить в том же
направлении, что и вращение зеркала. Последнее, без учета эффекта
Доплера, задается выражением
е = 4г (5>
для излучения частоты v. Результирующим вращением будет
I г, 4со/
а + 0 = -,
Vg
а не (5). Из него и находится групповая скорость.
ЗАДАЧА 45 РЕФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ 235
II
Согласно сказанному выше, скорость с/1,77 является групповой скоростью.
Чтобы связать ее с данными, указанными в задаче, необходимо выразить ее
через дисперсию dti/dkо сероуглерода. Имеем
dv ф
va - vm - X ¦
где А- длина волны в среде. Поскольку
с dn dv^
п " ' П vm
¦'Ф
/, . X dn А
vg~ + п dX ) '
Используя Ао ¦= Ан, получаем
dX dX о dn
К Х3 п
отсюда
X dn Хв dn .
dX п п dX о
• Л А0 dn\
Ч п dxj-
Выражение в скобках представляет собой малую поправку. Отсюда
окончательно находим
и" = °ф(1 + -г-|д)-
По условию задачи
dn 0,024 Х0 0,55
п 1,640' dX0 0,1031 *
.Для средней длины волны = с/1,64, следовательно,
4 = 1^4 (-°-077)
(отрицательный знак обусловлен тем, что dn/dX<,0). Затем получаем
VS ~ = С ( 1,77 ~ Тб4 ) ~ '1,64' °>073)'
Совпадение является удовлетворительным.
236
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 46
ЗАДАЧА 46
Скорость света в движущейся воде
Опыт Физо по измерению скорости света в движущейся воде был с большей
точностью повторен Зееманом.
Длина каждой трубки I составляет 6 м, а скорость течения воды 5,50 м/с.
При температуре опыта показатель преломления воды для зеленой линии ртути
(Х0 = 546 нм) равен 1,3345. Регистрируется положение центральной полосы
для какого-либо направления течения, затем направление течения меняется
на обратное и находится новое положение этой же полосы.
1. Найдите наблюдаемое смещение как функцию расстояния между полосами.
2. В этом опыте вода, через которую пропускают свет, движется
относительно источника. Следовательно, имеет место эффект Доплера.
Рассчитайте новые положения полос, принимая во внимание этот эффект.
Можно ли пренебречь этим эффектом, если окажется, что положение полосы
может быть определено лишь с точностью до 0,01 расстояния между полосами?
Показатель преломления воды для Я0 = 589 нм равен 1,3330.
РЕШЕНИЕ
1. Разность времен прохождения света в двух трубках равна
At = J L. (1)
аФ, %
Если пренебречь эффектом Доплера, имеем
= - ± ы (1 . (2)
следовательно,
,3>
п ч п2 ) п ч п- )
Смещение, выраженное через расстояние между полосами, равно . , 2
ЬЛ 2с Ы Ми , о i\
v= - = -'!)>
Ар' = - (j j7809 - 1) = 0,64,
И 3 • 108 - 546 - 10"9
2. Излучение с длиной волны к0, испускаемое источником в
системе отсчета, связанной с водой, имеет длину волны
ЗАДАЧА 46
РЕФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
237
Яо = Ао + ДА. Показатель преломления должен быть найден для Яо. Тогда
dn
dXa
п' - п -рг~ ДА0
ДА0 пи
Знак относится к трубке, в которой вода движется в направлении от
источника. Отсюда
, dn ип (. dn и\
п ==п±х°1к - =п{1±хочг0т)-
Фазовая скорость, определяемая формулой (2), равна
ф==-^±ы(1"7^)=^ (1ZFAo^7)±u(1_7^-)'
v,
или
с (. 1 А 0 dn \
От --- ±U 1--------------2-------1К ) >
ф п - V, п2 п dX0 J
если заменить п'2 на п2 и, следовательно, пренебречь членами при ujc.
Уравнение (3) принимает вид
Д(" + ("*-I_"4ll-gL),
и смещение полос равно
Численный пример:
dn __ _ 0,0015 и2 dX0 43-10'
ГЛ-э
_9, п2 -1=0,78,
Ар" = 0,64 (1 + -1'--- * 4^6 ' Ю -0,0015Л = н \ 0,78 • 43
• 10-9 )
= 0,64(1 +0,034) = 0,66 полосы.
Таким образом, эффект Доплера необходимо учитывать, как это и сделал
Зееман в своем опыте.
238
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 47
ЗАДАЧА 47
Распространение волн в периодической дискретной среде
Рассмотрим продольные упругие волны, распространяющиеся вдоль бесконечной
цепочки точечных частиц, имеющих массу т и расположенных вдоль оси Ох с
интервалом d. Со стороны каждой из этих частиц действует на соседние
частицы отталкивающая сила, пропорциональная изменению их расстояния от
положения равновесия (фиг. 47.1).
1 2 3 п-1 п п + 1
d d d
Фиг. 47.1
1. Найдите уравнение движения для п-й частицы, обозначив ее смещение от
положения равновесия через s", и покажите, что уравнения движения частиц
имеют решение типа
sn - S cos {at - and).
Покажите, что угловая частота ю изменяется в зависимости от волнового
числа а и всегда остается меньше некоторой величины сот, которую нужно
определить.
2. Найдите фазовую скорость синусоидальных волн, которые могут
распространяться вдоль этой цепочки частиц и рассмотрите ее изменение как
функцию а. Найдите групповую скорость волн, угловая частота которых
близка к заданной величине.
3. При условии, что показатели преломления кристаллов NaCl и КС1 имеют
следующие значения для двух концов видимого спектра:
