Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
световой импульс с длиной волны к = = 6935,9 А (волновое число v = 14 418
см-1). Будем считать, что каждый импульс может быть приписан цугу из
линейно-поляризованных плоских волн с постоянной амплитудой,
длительностью т = 0,1 мс и с энергией W = 0,3 Дж. Поперечное сечение
96
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 20
пучка представляет собой круг диаметром 5 мм. Импульс распространяется в
воздухе, показатель преломления которого принят равным единице.
1
Рассчитайте число фотонов N, переносимых импульсом. Зная, что флуктуация
числа фотонов в волне равна *\jN, получите выражение для соответствующей
флуктуации фазы ф волны, связанной с N фотонами. Какое заключение можно
сделать относительно преобладания корпускулярных или волновых свойств
света?
II
Рассчитайте спектр частот G(v) каждого импульса. Получите выражение для
спектральной ширины Av, определяемой как половина интервала между двумя
нулевыми значениями функции G(v) вокруг центрального максимума. Выведите
выражение, связывающее ширину в волновых числах и длину L волнового цуга.
Численно определите значение Av в милликайзерах (см. ниже) и АР. в
миллиангстремах.
Если импульс вводится в интерферометр Майкельсона, то покажите без
дополнительных вычислений, какая разность хода необходима для того, чтобы
интерференция больше не наблюдалась. Возможно ли это физически?
III
1. Рассчитайте объемную плотность энергии w, переносимую импульсом (при
подсчете объема, занимаемого волновым цугом, пренебрегите расширением
пучка за счет дифракции).
2. Получите численное значение электрического поля волны.
3. Рассчитайте давление, производимое на плоский экран, перпендикулярный
пучку, в следующих случаях:
а) экран полностью поглощает;
Р) экран полностью отражает;
у) экран имеет коэффициент отражения R - 0,9 и коэффициент поглощения А =
0,1.
IV
Поместите на траектории пучка свободную от аберраций линзу L с фокусным
расстоянием F = 5 см, диаметр которой достаточно велик для того, чтобы
она не была зрачком системы.
ЗАДАЧА 20
ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ
97
фольга из стали толщиной 0,1 мм помещается в плоскости фокуса L (фиг.
20.1).
1. Определите радиус р центрального дифракционного пятна. Считайте,
что это пятно получает 75% энергии, содержащейся в импульсе (учтите
коэффициент пропускания линзы).
R
Фиг. 20,1
2. Коэффициент поглощения для стальной фольги R равен 0,1. Поглощаемая
энергия преобразуется в тепло и изотропно рассеивается вокруг пятна.
Какое количество тепла необходимо, чтобы нагреть до температуры плавления
полусферу из стали
радиусом 0,1 мм (фиг. 20.2)? Сравните эту величину с количеством тепла,
переносимого одним импульсом. Какой вывод можно сделать?
Численный пример:
h = 0,62- 10~34 Дж-с, с = 3 . Ю8 м,
8°= з&ГнК ф/м-
1 кайзер = 1 см-1 = 100 м-'1, плотность стали равна 7,83 г/см3, удельная
теплоемкость стали равна 0,11-4,18 Дж/г, точка плавления стали t- 1525
°С,
98 ЗАЛАМИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 20
РЕШЕНИЕ
I
Энергия одного импульса равна энергии одного фотона, умноженной на N, так
что
W - Nhv = Nhcv,
N =--------^^----------------з- " 1,05 • 1018.
6,62 • 10 • 3 • 10- 14,418 • 10
Флуктуации числа фотонов и фазы волны связаны соотношением
неопределенности
Д WAt^h.
Действительно, неопределенность в W обусловлена неопределенностью в N,
квант определяется частотой.
Таким образом, имеем
ANhvAt^h.
Однако неопределенность во времени At связана с неопределенностью Дф в
фазе. Находим
2я Т
следовательно,
Дф = 2nv Д^
и
Д N Дф 2л.
Если AN = л/N, то Дф ^ 2я /л]N. Значение N - велико, Дф - очень мало. В.
случае частот, соответствующих относительно длинным (красным) волнам,
преобладают волновые свойства,
II
Импульс описывается выражением
s (t) - a cos 2nv0t (~у < * < у)*
В комплексной форме
s(t) = a exp (- /2nv00-Соответствующий спектр частот имеет вид
+ оо
<? (v) = a J ехр [/2я (v - v0) t] dt = -2n-^~Va) [exp j2n (v - v0) t]t]p
>
"- 30
^ , s sin 2я (v - v0) t/2
ЗАДАЧА 20 ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ 99
Первые два нуля хорошо известной функции G(v) появляются при 2л (v - v0)
т/2 = ±л.
Полуинтервал между этими значениями соответствует обла-сти частот
1
v-v0 = T,
так что, поскольку v = v/c и длина L - сх, получаем Численно:
Av = - == sr г = 0,33 • 10~4 м-1 = 3,3 милликайзер,
ст 3-10а-10~4 У
I дя, [ = А,2 ДV == 48,10 . 10-14 - 3,3 - 10-5 =
= 1,59 • 10-17 м = 1,59 • 10-4 мА,
L = -i- = 3 • 104 м.
Av
Интерференция в интерферометре Майкельсона больше не наблюдается, если
расстояние между зеркалами порядка L/2 или 10 км. На этом расстоянии
нельзя получить однородные оптические пути.
Ш
Объем, занимаемый волновым цугом, равен v = L = 59 • 10'2 м3.
4
1. Плотность энергии равна
w = - = ---5~ = 0,508 Дж/м3. о 59• 10 1
2. Выражение для плотности энергии в электромагнитной теории записывается
в виде
W - &оЕ2,
следовательно,
Е = д/575 * 108 = 2,4 • 105 В/м.
3. Давление излучения при нормальном падении равно а) а> = w = 0,508
Н/м2,
Р) a - 2w = 1,016 Н/м2,,
у) а> = (1 + R)w = 1,9и; = 0,965 Н/м2,
