Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
главных колебаний.
Световой источник О состоит из набора беспорядочно ориентированных
осцилляторов Герца. Напишите выражение для электрического поля Е и его
компонент Ех и Ег как функцию угловых координат 0 и ф на большом
расстоянии от точки О для излучения, испускаемого источником:
а) в направлении Оу;
б) в направлении Оу', образующем угол у с Оу на плоскости хОу.
Рассчитайте контрастность полос, получаемых в результате интерференции
излучений, испускаемых вдоль Оу и вдоль Оу', в зависимости от у.
1. Изображения осциллятора Sj и S2 нормальны к плоскости рисунка,
которая является для обоих экваториальной плоскостью.
Электрическое поле электромагнитной волны, испускаемой каждым из них,
нормально к плоскости фиг. 18.2 в точке Р и дается выражением
II
РЕШЕНИЕ
I
Фиг. 18.2
'"8
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 18
Поля Ех и Е2, параллельные в точке Р, имеют в этой точке разность фаз
вследствие разности хода б = |г2 - гх\. Если эта разность хода настолько
невелика, что амплитудная разница из-за множителя 1 /г пренебрежимо мала,
то поля имеют одинаковую амплитуду
4пе0с2г0
С другой стороны, можно считать
б = I cos а,
откуда
2зт ,
Ф = у- I cos а.
Результирующее поле Е можно получить суммированием двух параллельных
колебаний с амплитудой а и разностью фаз ф. Его интенсивность равна
А2 = 4а2 cos2 у .
Таким образом,
" " nl cos а \ .
? = 2acos-j--sinu-у). (2)
Поле Н является результирующим для полей Нх и Н2, которые находятся в
фазе с полями Ех и Е2 соответственно, так как расстояние СР
велико, и по этой же причине эти поля практически
параллельны. Поскольку для электромагнитных плоских волн в вакууме
Я = д/- Е,
V Но
щз (2) получаем
я"2^ТГс085^8|пЧ'-тФ (3)
.Вектор Пойнтинга равен
S = Е > Н = 4a2 /\J-jy cos2 ^gs-a- sin2 ев [t - -g-) .
2. Так как зеркала дают изображения точки О, разделенные очень малым
угловым расстоянием, то можно считать, что излучение от точки О образует
квазипараллельный пучок лучей. Электрические поля испущенных волн
параллельны диполю и, таким образом, находятся либо в плоскости падения
на зеркала, либо нормальны к ней.
При угле падения, близком к я/4 и меньшем, чем угол Брю-*стера для всех
диэлектриков, колебания, параллельные z'z или
ЗАДАЧА 18
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА
8"
у'у, подвергаются при отражении фазовому опережению на л. Эта схема
показана на фиг. 18.3. Если отраженные пучки объединяются, что происходит
на больших расстояниях от точки О, то на оси z'z имеет место
интерференция с усилением для колебаний, параллельных у'у, и
интерференция с ослаблением для
колебаний, испущенных из точки О параллельно z'z (они практически
антипараллельны в точке их объединения и направлены вдоль х'х).
Если двигаться от центра интерференционного поля параллельно х'х, то
колебания, параллельные у'у, записываются в виде
Здесь ф представляет собой разность фаз, обусловленную разностью хода,
которая изменяется линейно как функция переменной х. Результирующая ам-
Е'х = Ет cos (at -)- л -)- ф).
[Амплитуда Ет - та же, что и прежде, так как коэффициенты отражения
считаются равными. Результирующая амплитуда равна
Колебания (4) и (5) перпендикулярны друг другу, и отношения их амплитуд
изменяются с ф, т. е. с положением точки наблюдения вдоль линии,
параллельной х'х. В каждой точке компоненты дают эллиптически
поляризованное колебание, причем оси эллипса параллельны у'у и х'х и
имеют изменяющиеся размеры, соответственно равные 2Ет cos ф/2 и 2Ет sin
ф/2. Все эти эллипсы могут быть вписаны в квадрат со стороной Em-\j2
(фиг. 18.4).
Фиг. 18.3
Е'у = Ет cos at, Еу = Ет cos (at + ф).
?y = 2?mcos|cos(co^+-|). (4)
Колебания, испущенные параллельно z'z, равны
Е'х = Ет cos at,
плитуда равна
х'4-
\
/
/
(5)
Фиг. 18.4
90
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 18
При ф = 0 эллипс вырождается в линию, параллельную Y, при ф -я - в линию,
параллельную X, и при ф = л/2 и ф = = Зя/2 мы получаем окружности.
Если взять компоненты колебаний во второй степени, то результирующая
интенсивность будет равна
I = El + E2x = 4E2m.
Эта величина постоянна. В отсутствие анализатора интерференционное поле
равномерно освещено.
II
Пусть 0 и ф (фиг. 18.5)-углы, определяющие ориентацию диполя OD в
прямоугольной системе координат Oxyz. Для наблюдателя, находящегося на
оси Оу, электрическое поле волны, испущенной диполем, пропорционально sin
гф, где ф- угол DOy.
Поле Е находится в плоскости xOz, так как свободная электромагнитная
волна поперечна. Его компонентами являются
Ех = Е sin 0 cos ф, Ez = Е cos0.
В направлении Оу', которое образует угол у с Оу, электрическое поле
находится в плоскости x'Oz (направление Ох' нормально к Оу'), и его
компоненты имеют вид
Е'х = Е sin 0 cos (ф ± у), E'Z = E cos0.
Колебания Ех и Е'х могут интерферировать так же, как Ег и Е'г. Однако
первые не интерферируют со вторыми, так как они взаимно перпендикулярны.,
Поля, создаваемые различными некогерентными диполями, не интерферируют.
Максимумы интенсивности определяются выражением
