Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
2р '
L 1 + К/"о) ('nhfnl)2P Случай (2р -f- 1) пленок:
ni!nh)P УЧн ~ (~Уя/)р Ч 2р+1 ni!nh)P xl%+(.~nhlni)P V
= 1 ~ (nhlnlfP (nVn0ns)
2P+1 1 1 + (nh/nlfP (nVn0ns)
-I-
]•
(54)
(55)
(56)
(57)
Численный пример приводится в табл. 14.1. Пленки не поглощают, и R + Т =
1.
Таблица 14.1
Число пленок 1 ч 3 4 5 6 7 8 9 10
11
т R 0,693 0,307 0,619 0,381 0,340 0,660 0,289 0,711 0,138 0,862 0,116 0,884
0,0522 0,9478 0,0432 0,9568 0,0191 0,9809 0,0158 0,9842
0,0069 0,9931
Примечание. Выбор Хо/4 как оптимальной толщины для пленок может быть
легко объяснен (фиг. 14.3). Если два после-
Фиг. 14.3
дующих отражения являются отражениями разного типа, то два отраженных
луча имеют разность хода 2nd + W2.
ЗАДАЧА 15
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА
77
Чтобы эти лучи создавали интерференционную картину, требуется выполнение
условия nd - Я0/4. Следовательно,
"/А = 1Г и =
Необходимо, чтобы отражения, испытываемые лучами 1 и 2, были различного
типа, так же как и отражения, испытываемые последними двумя лучами. Иными
словами, необходимо иметь нечетное число пленок, где сульфид цинка
находится в контакте с воздухом с одной стороны и со стеклом - с другой.
В современном интерферометре Фабри - Перо на внешние грани наносятся
многослойные диэлектрические покрытия. Заметим, что селективность
увеличивается с числом пленок.
ЗАДАЧА 15
Электромагнитные волны в резонаторе
Пусть резонатор имеет форму куба, одна из вершин которого находится в
точке О, а три стороны ориентированы вдоль осей Ох, Оу и Oz правильного
тетраэдра. Резонатор откачивается, и мы считаем, что стенки идеально
проводят,
1
Создадим в резонаторе электромагнитное поле с частотой v; при этом
возбуждение создает электрическое поле, параллельное оси Oz. Исходя из
уравнения для электромагнитной волны и условий, налагаемых на волновое
поле на стенках, покажите, что можно получить стационарные состояния, в
которых поле Е параллельно оси Oz и имеет значение, не зависящее от z,
для которого существует соотношение между длиной резонатора L и длиной
волны Яо в вакууме для плоской волны с частотой v. Примем
Ег (х, у) = X (х) • Y (у).
Определите минимальное значение L и произведите расчет для v = 3- юз Гц
II
Примем для L найденное выше минимальное значение, и пусть Е0 будет
максимальной амплитудой Ez. Выразите поля Ez, Нх, Ну и Hz как функции х,
у, z, t и параметров L, Е0 и со = 2nv. Найдите среднюю энергию,
содержащуюся в резонаторе, как функцию L и Е0.
Численный пример'.
v = 3 • 109 Гц, Е0 = 107 В/м.
78
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 15
РЕШЕНИЕ
I
Для монохроматической волны волновое уравнение записывается как
AE+c=E=0 (c=iS.= |L). (1)
Для искомого ПОЛЯ
Ех = О, Еу = 0, Ez = Ez{x,y) уравнение (1) принимает вид
д2Ег -L P'Ez -L 02? = о
дх2 ^ ду2 ^ z и-
Подставляя в него решение, принятое выше: Ez(x,y) =
= X (х) Y(у), имеем
1 d2X , 1 d2Y , ? п
ТЧ^+ТЧ^ + (У=°- (2)
Общее решение будет
X = Л] sin (oiX -f фх), Y = Л2 s'n (^г!/ + фД (3)
и уравнение (2) требует, чтобы
о? 4- а* = а2. (4)
Условия, налагаемые стенками идеального проводника, состоят в том, что
тангенциальная компонента поля Е и нормальная компонента поля Н должны
быть равны нулю, следовательно,
X (0) = X (L) = 0, F (0) = F (L) = 0.
Решения (3) записываются как
К\ПХ _ К2Щ
X -- А\ sin-;-, F = /l9sin
ij ош ^ , i Л2 Ьш
где Ki и Хг - целые числа, которые при использовании (4) удовлетворяют
условиям
или
K\ + Kl=^~.
л0
Собственные частоты резонатора для рассматриваемой моды соответствуют
длинам волн
. 2 L
А0 - ¦
ЗАДАЧА 15
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА
79
Минимальное значение L получается при Ki = K2- 1:
I Я0
Lm~ V2" '
При v = 3-109 Гц и Iq - 0,01 м, Ьт = 7,07 см.
II
При L - Ьт электрическое поле имеет вид с2 = Е0 sin sin ~~ COS СО/.
Можно найти магнитное поле из уравнения
ан
3t
, с ан
rot Е = - р0 -рр ,
что дает
дНх Е0 я . их я у - - -sin - COS -г- cos со/,
dt ро L L дН у Еа я ях . я у
¦ cos -j- sin-p- cos со/,
a; но l l l и для минимального значения L получаем
. . EqJX . ях я// . ,
Нх =---------;-Sin-7- COS ~ Sin со/ =
* ИоДм L L
VE0 г- . ЯХ пи . ,
- fosm-f-cos-^sinco/,
Ну - Еар' cos sin-^p- sin со/ = л/Е0 cos sin-^p- sin со/.
У НоЕа> L L V 2но L L
Средняя энергия, заключаемая в резонаторе, получается из среднего по
времени значения плотности энергии
w = j{e0E2 + ii0H2).
Так как мы имеем дело с синусоидальными функциями, то {еТ) = Ео/2.
Наконец, нужно взять средние значения по объему:
80
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 16
Численный пример
i • 4 • 3,14 • 9 • Ю9 • 2 • V2
nvr\ 1014-10~' п
(Ю =------------------------------~ 4,0 Дж.
4 ' g.il.on.n 1Л9.0 i/n * ^
ЗАДАЧА 16
Давление излучения
Напишите выражение для давления, производимого монохроматической плоской
волной с частотой v, содержащей N фотонов в единице объема, на
плоскую поверхность в вакууме при
падении на нее под углом i. Рассмотрите следующие случаи:
а) поверхность - черное тело; б) поверхность отражает зеркально с
коэффициентом отражения R ив) поверхность-идеальный рассеиватель
