Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
Г ?,-| = rcosM^sinM4]r f" Г 5"1. (21)
L Hi J L Iqsink^ndcosk^nd -I ^ 11 ^ 11
Матрица [Mi] характеризует пленку. Это унимодулярная матрица, детерминант
которой равен единице.
2. В вакууме для поверхности 2i уравнения (15) могут быть записаны в
виде
Е\ = + Ег,
(22)
Hi = qAEi - Ег).
В подложке, имеющей по предположению бесконечную толщину, волны в
отрицательном направлении не распространяются. На поверхности 2ц
компоненты поля равны
Ец == Ei,
иа-и,-,А. ,23)
При использовании уравнений (22) и (23) уравнение (20) принимает вид
Et + Er - A^cos kQnd + /~ sin &0ndJ, <7о (Et - Er) = Et [jq sin kand + qs
cos k0nd],
(24)
отсюда получаем:
а) Амплитуда проходящего света:
^ Ej о q_ (25^
Ei q (<7о + qs) cos k0nd + / (q2 + q0qs) sin k0nd ' '
t=-____________________I_________-________
(1 + ns) cos kand + j [n + (ns/n)] sin k0nd
б) Амплитуда отраженного света:
__ Ег _ q(q0 - qs) cos k0nd + / (q0qs - q2) sin k0nd Ei q (<7o + <7s) cos
k0nd + j (q0qs + q2) sin k0 nd '
(26)
(27)
_ (1 - Its) cos kand + j [(ns/n) - n\ sin kQnd ,gg,
(1 + ns) cos k0nd + j [{ns/n) + n\ sin k0nd ' ' '
в) Коэффициент пропускания:
ЗАДАЧА 14
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА
73
Так как внешние среды не идентичны, то Т ?=t2. Уравнение (25) позволяет
написать
т _________________ 4ЯаЯвЯ2 ___
Я2 (Яо + Яs)2 cos2 к0nd + (я2 + <7o<7s)2 sin2 k0nd 4ЯоЯзЯ2
(30)
'г
_________________________________________________________________________
_________________________________4s4_____________________________________
_________________________________________________________________ ГЧП
{% + 4sf + (<?2 - <?о) if - яТ) sin2 k0nd '
или, наконец, через показатели преломления т 4 ns
(1 + ns)2 + (п2 - 1) [1 - {ns/n)2] sm2 k0nd
г) Коэффициент отражения
(32)
Г)_1 _т (1 - ns)2 + (п2- 1) [1 - (ns/n)2] sin2 kg nd ,r,r,4
K~ 1 (1 + ns)2 + (n2 - 1) [1 - (nsJn)2] sin2 k0nd • { '
3. Вернемся к уравнению (32). Так как 1 < п < ns, то второй член в
знаменателе D всегда отрицателен. Чтобы Т было максимальным, D должно
быть минимальным, т. е. значение sin k0nd должно быть максимальным, или,
наконец,
nd = ^f. (34)
Для этой оптической толщины покрытия поверхности коэффициент пропускания
будет
гр_______________4м2м.9_____________ 4fZ2Mg
" "2(l+"s)2 + ("2_l)("2_"2) - ^ '
Это значение максимально для
п2 = ns. (36)
Заключение. Пластинка с покрытием будет идеально прозрачной, если толщина
и показатель преломления пленки удовлетворяют условиям _
п = ftls,
(37)
4
Численный пример:
п = д/Х6 = 1,265,
rf = -7L = -^-"0,T мкм.
4 п 5,06 '
Примечание. Не существует твердого тела с показателем преломления меньше
чем 1,3. Путем нанесения единственной пленки нельзя получить идеального
просветляющего покрытия, но можно добиться лишь хорошего приближения к
нему.
74
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 14
III. Многослойные диэлектрические покрытия
1. Записывая уравнения непрерывности на поверхностях Иц и 2ш. получаем
Отсюда следует, что соотношения между Ег и Hi (значения Е и Н на
плоскости 2 = 0) и Ер+Х и Нр+1 (значения Е и И на плоскости 2 = d\ -f- d2
+ ... + dv) равны
Для системы р тонких пленок, характеристические матрицы которых [М{],
имеем
Примечание. Матричное произведение не коммутативно. Произведение следует
брать в той последовательности, в которой падающая волна падает на
пленки.
[М\-всегда унимодулярная матрица. Это свойство является результатом
сохранения энергии, переносимой электромагнитной волной.
Уравнение (40) может быть переписано в виде
Амплитуда проходящего света t. Уравнение (22) остается неизменным.
Уравнение (23) принимает вид
COS kan2d2 ~2 s'n kQn2d2 jq2sinkQd2 cos k0n2d2
m x [ ]. (38)
Используя уравнения (21), можно написать
(39)
или, накс
(40)
(41)
р
[м] = Ц[мх].
(42)
Г Ei И Гтм
L Нг J L m2l
(43)
ЕР+[ - Е^,
Hp+i - Ht - qsEi.
(44)
ЗАДАЧА 14
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА
75
Объединяя (22), (43) и (44), можно написать
2<7о
t=^-
Ei
Qo (тп + Qstn 12) + (т21 + 9sm22)
Амплитуда отраженного'света г. Таким же образом, как ше, получаем
_ __ go ('"ii + qsml2) ~ (т21 + gsm22)
?" qо ("Hi + <Ы"12) + (тл + ?sm22) '
2. а) Характеристические матрицы. Так как мы имеем
в четверть длины волны (W4), то матрицы [М{\ и [М2]
мают вид
(45) и рань-
(46)
пленки
прини-
[Mh] =
[4Т1 =
О
1Ян О
о -L' ь
. iqi О
Характеристическая матрица для одного периода равна
t-^l период ила 2 пленки]
Для р периодов получаем
[-^р периодов или 2р пленок]
с ^1 1 ' _ I О
¦ ч nh
0 1 1 -о I"* 0
L я1 _ п1 -
(-0
[44(2р + 1) Г
к] =
Для (2р+1) характеристическая матрица равна
[44(2,0+1) пленок ] = [М2Р пленок ] X W, 1,
(-T-J 0 '[о
. о (-^У>, ' 0 (~?)'?
1
Як
О
[44 (2р + 1) пленок] -
(47)
(48)
. (49)
(50)
(51)
(52)
(53)
76
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 14
б) Расчет коэффициента отражения R = \r\2. Вернемся к уравнению (46),
дающему г, и заменим элементы m элементами матриц (50) или (53).
Случай 2р пленок:
Qo(-nifnh)p-^(-nhfni)P
' 2р '
следовательно,
я
^о(-"Л)Р + ^s(-nJni)P' ' 1 - (nJno) (Vn/)2p п2
