Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
пленки имеют одинаковую оптическую толщину А,0/4. Обоснуйте такой выбор
толщины.
3*
68
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 14
а) Определите характеристическую матрицу для одного периода (две пленки),
для 2р пленок и для (2р + 1) пленок.
б) Вычислите коэффициент отражения R зеркала, имеющего 2р и (2р+ 1)
пленок.
Численный пример: п0 =. 1; nh = 2,3 (сульфид цинка);
щ = 1,38 (фтористый магний); ns= 1,52 (стеклянная подложка). Число пленок
1, 2, ..., 11. Напомним, что элементы (сц) матрицы [С], равной
произведению матриц [А] и [В], получаются из следующего уравнения:
р
О; S ^ik ' &kj'
k = l
РЕШЕНИЕ
I. Отражение от стекла. Формулы Френеля
1. Нет необходимости проводить различие между параллельным и
перпендикулярным колебаниями в плоскости падения. Действительно, для
случая нормального падения все плоскости, через которые проходят лучи,
являются плоскостями падения (фиг. 14.2).
Н e-l
+ Ег
Г
'Ш W/A
Л
' Z
Hi -0- Ei 1
Hr л
еГ(r)~ L
'////, ш.
Ht _Jb
I* 4
Фиг. 14.2
Возьмем поля Ei и Hi падающего света, ориентированные, как показано на
фиг. 14.2. Направление полей проходящего света остается прежним. Для
полей отраженного света существует выбор между ориентациями,
представленными на фиг. 14.2,а и б. Произвольно рассмотрим случай фиг.
14.2, а. Компоненты электрического и магнитного полей удовлетворяют
условиям непрерывности на поверхности раздела:
(1)
ЗАДАЧА 14 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА 69
Между полями Е и Н каждой синусоидальной плоской волны существуют
соотношения
Hl - a/Il - Лл
El V Но Ег ^
4г=л/:
62
Но
(3)
Для диэлектрической среды pi = ро, и мы имеем
V6] с
ео П{
Ve2 с
во П2 V2
Исключая Н из уравнений (1) и (2), получаем формулы Френеля
Ег п, - п2 I - п п2.
г = - = тл- с п - -;
Ei nt + n2 1+" tii ^
t =
Et 2tii 2
E i "1 + n2 1 + ft '
Примечания:
а) величина t всегда положительна; Et и Ei имеют одно и то же
направление;
б) г имеет знак разности (ri\ - п2),
если п 1 > п2, то г > 0 (фиг. 14.2, а), если п\ < п2, то г < 0 (фиг.
14.2, б).
Численный пример-.
1-1,5 ___ 0,5 =_0)20>
1+1,5 2,5
В случае когда отражение происходит в менее преломляющей среде от границы
с более преломляющей средой, электрическое поле получает сдвиг фазы на я.
2. Сохранение энергии. Плотность электромагнитной энергии есть
w - еЕ2 - Но Я2, (5)
отсюда энергия, содержащаяся в объеме dx, равна
dW - еЕ2 dx. (6)
Количество, энергии, проходящее за время dt через элемент поверхности,
параллельный плоскости фронта волны, есть то количество энергии, которое
заключается за время t в цилиндре с
70 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 14
основанием dS и высотой v dt (где v - скорость распространения волны в
среде).
Уравнение (6) может быть переписано в виде
dW = еЕ2 dS • v • dt. (7)
Тогда поток излучаемой энергии, проходящий через поверхность dS, равен
d(r) = ^r = zvE2dS. (8)
Закон сохранения энергии для потока записывается как
d<D; = d<Sr + d<Dt. (9)
После упрощения имеем
И181Щ = V18 А2 + ^282Ег (Ю)
Разделив обе части уравнения на Е\ и используя определение
t и г, получаем
\=r2 + nt2. (11)
Это выражение можно было бы найти непосредственно, используя формулы
Френеля (4).
Примечание. В случае нормального падения света величины г и t связаны
соотношениями
1 r - t,
1 = г2 + яЛ 02)
Для энергии имеем Таким образом,
\=R + T. (13)
R = г2,
Т = nt2 ф t2. (14*
В действительности, если отраженный луч распространяется в той же среде,
что и падающий луч, то он отличается от проходящего луча: в общем случае
энергия проходящего света не равна квадрату амплитуды проходящего света.
II. Просветляющие покрытия
1. Условия непрерывности. Поля Е и Н являются результатом действия
двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
ЗАДАЧА 14
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА
71
ЛР им ем
Е=Е+ + ?Д Я = Я+ + Н~.
(15)
Индексом плюс обозначена волна, идущая в положительном направлении Ог,
индексом минус - волна, идущая в противоположном направлении.
Второе уравнение (15) может быть переписано с использованием (2):
Н = д/(Е+ - Е~) = дДг-(Е+ -E~) = q (Е+ - Е~). (16)
Если А и В - амплитуды луча внутри пленки, то, принимая ko = 2зтДо, имеем
При переходе от одной среды к другой уравнения Максвелла требуют
непрерывности тангенциальных компонент векторов поля. В особом случае
нормального падения векторы Е и Н, перпендикулярные Oz, должны оставаться
непрерывными.
Тогда на поверхностях 2i и 2ц имеем
Епленки = Ae-Eonz _|_ flg + ZM*,
Япле"к" = q [Ае-1Ь** - Ве+^].
пленки
пленки
(17)
на
(18)
Г ?,. = Ae-lkatid _|_ fte+jkatid'
на { ни = q [Ae-ib** - Be+>k^d],
{
(19)
Исключая Л и В из уравнений (18) и (19), получаем
Еи = Д [№ + Hi) e~lk"nd + (<??, - Я,)^^], Ни =4" f^1 + Hi)e~I'k°nd - (qEi
- H\) e+lk°nd].
Мы приходим к следующим линейным соотношениям:
Еи = ЕI cos k0nd Н\ sin k0nd,
Нц = - jqEi sin k0nd + H\ cos kQnd,
Кроме того,
Ei = Eucosk0nd + -L Hu sin k0nd,
(20)
Hj = jqEn sin k0nd + Нц cos k0nd
72 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 14
или в матричной форме
