Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
вопроса о том, каким образом погода может зависеть от того, как Венера
располагалась несколько недель назад и в то же время быть статистически
независимой от этого факта. Пусть х будет некоторым начальным состоянием
рассматриваемой системы, т. е. вселенной, или - лучше - идеализации
вселенной, описывающей, кроме всего прочего, положение Венеры и погоду
там, где находитесь вы. Если начальное состояние х относится к ситуации,
которая имело место несколько недель назад, то ситуация, которая
сложилась сегодня днем, будет состоянием flx\ здесь /t называется
оператором временной эволюции и представляет преобразование пространства
состояний нашей системы (соответствующее временной эволюции от момента
времени несколько недель назад до сегодняшнего дня). Существует множество
А возможных начальных условий нашей системы, которые мы не можем
различить: это выражает тот факт, что мы не знаем начальные условия с
абсолютной точностью. (Ради доказательства мы можем допустить, что
абсолютно точно нам неизвестно только начальное положение Венеры.) Разные
возможности погоды сегодня днем описываются всеми точками множества ffA.
И, из-за чувствительной зависимости от начальных условий, которая будет
рассмотрена в следующих главах, множество ffA уже не будет маленьким,
Примечания
163
а фактически охватит все виды различных возможностей для погоды. Теперь,
пусть В будет множеством состояний, описывающих дождь сегодня днем. Часть
ffA будет входить в В, часть окажется вне его, а влияние, которое
оказывала Венера несколько недель назад, тем самым помешает нам сказать,
будет или нет дождь сегодня днем. Состояния вселенной, в которых сегодня
днем идет дождь (там, где находитесь вы) и которые совместимы с тем, что
нам известно о ситуации, имевшей место несколько недель назад, являются
точками пересечения (/*А) р| В. Можем ли мы хоть что-то сказать об этом
пересечении?
Чтобы иметь возможность продолжить наше рассмотрение, воспользуемся тем,
что для множества временных эволюций существует естественная мера
вероятности га, которая не изменяется при временной эволюции и описывает
вероятность различных событий. Например, т(/гА) = т(А) - это вероятность
события "А", связанного с нашим начальным состоянием. Более того, т((/гА)
Р| В) - это вероятность события "А" несколько недель назад и "В" сегодня
днем. Во многих случаях получается, что, для большого t,
" rn(A) х т(В).
Это свойство, которое называется смешиванием, означает, что множество ffA
настолько изогнуто, что его доля в В пропорциональна размеру В
[измеренному т(В)].
Если мы интерпретируем вышеприведенное свойство смешивания через
вероятности, то увидим, что оно дает точно такой же результат, как и
допущение, что дождь, который будет сегодня днем, и положение Венеры
несколько недель назад (статистически) независимы. [Тот факт, что т(А) =
0 - это второстепенная техническая сложность, которую можно устранить,
приняв подходящий предел.]
Вышеприведенная мотивировка статистической независимости, конечно же,
неудовлетворительна для математика, который потребовал бы доказательства.
Но мы очень далеки от того, чтобы таковое обеспечить: задача слишком
сложна. Если же вы - физик, то вас не оттолкнет отсутствие
математического доказательства, но вы будет спрашивать о другом. Прежде
всего, вы запросите данные чувствительной зависимости от начальных
условий в нашей задаче; вы захотите знать, сколько недель составляют
"несколько недель" (к этому мы вернемся в следующих главах). Затем вы
пожелаете точно определить, что подразумевается под положением Венеры
(если вы невнимательны, положение Венеры будет связано
164
Примечания
со временем года и потому с соответствующей ему погодой). Кроме того, вы
заглянете в проблему смешивания. И поскольку она слишком сложна, чтобы
решить ее непосредственно, вы попытаетесь найти, что могло быть ошибочным
относительно допущений статистической независимости дождя от положения
Венеры. Одной из ошибок могла оказаться разумная сила, корректирующая
погоду согласно наблюдениям Венеры. Но при современной технологии это
маловероятно. Наконец, если данный вопрос достаточно интересен, вы
начнете проводить ряд наблюдений и статистических испытаний независимости
погоды от положения Венеры.
Наше рассмотрение оставляет открытым, по крайней мере, один вопрос: что
мы подразумеваем под разумной силой? На данном этапе мы можем сказать
лишь то, что разумная сила вводит взаимосвязь там, где вы бы ее не
ожидали. Если немного подумать, то это неплохая характеристика разума.
1. Уравнение Ньютона. Рассмотрим N точек с массами mi,..., тдг
(положительные числа) и положениями x\,...,xn (векторы в трехмерном
пространстве); тогда уравнение Ньютона выглядит следующим образом:
где Fi - сила, действующая на г-тую частицу (вектор в трехмерном
пространстве). Мы говорим об уравнении Ньютона в единственном числе, но,
на самом деле, существует 3N уравнений, потому что каждое положение имеет
