Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
математики/ (Princeton University Press, 1945; переиздано, расширенное
издание New York: Dover, 1949). [Обе книги переведены на русский язык и
имеются в различных изданиях.]
Пуанкаре рассказывает об одной задаче, о которой он перестал думать
сознательно и решение которой он увидел позже: внезапно и абсолютно ясно.
Очевидно, что работа над этой задачей продолжалась бессознательно. Эта
работа задействовала скорее даже не глубокое бессознательное, а то, что
Фрейд называет пред-сознателъным. Однако, повесив на это явление ярлык
"предсозна-тельное", мы все равно не объясним, что же все-таки
происходит. Роль бессознательного, или предсознательного, в научном
открытии знакома, я думаю, многим ученым, но ее реальное понимание
отсутствует.
4. Я привожу цитату из Saggiatore (1623 г.) Галилео Галилея:
"Философия записана в этой огромнейшей книге, которая всегда открыта
перед нами (я говорю о вселенной), но понять написанное невозможно, пока
не изучишь язык и не распознаешь буквы, которыми она написана. А написана
она на математическом языке, и буквами ее являются треугольники, круги и
другие геометрические фигуры... ".
5. Математика физической теории вполне может выйти за пределы
операторно определенных величин и ввести объекты, которые, даже в
принципе, невозможно наблюдать непосредственно. Введение ненаблюдаемых
объектов - это, безусловно, дело очень деликатное, так что можно
поддаться соблазну и отказаться делать это, исходя из философских причин.
Но подобное априорное отношение оказывается, по крайней мере в некоторых
случаях, не лучшей идеей. Например, в конце 1950-х гг. физик Джеффри Чу
предложил, чтобы специалисты по физике частиц сконцентрировали свое
внимание на изучении математического объекта, называемого S-матрицей
(которая тесно связана с экспериментальными величинами), и забыли о
ненаблюдаемых квантовых полях. В некотором смысле идея Чу была очень
разумной. Однако случилось так, что изучение полей оказалось чрезвычайно
эффективным (как до, так и после предложения Чу), и мы не хотели бы
остаться без них.
Глава 3. Вероятности
1. Математические основы исчисления вероятностей ввел в математику
Колмогоров (тот самый человек, чью теорию пси-
Примечания
161
хологии математиков мы рассматривали в начале главы 2 и с чьей теорией
турбулентности мы встретимся позднее). Стандартные источники: А. N.
Kolmogorov, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsre-chnung, Erg. Math.
(Berlin: Springer, 1933); имеется русский перевод: "Основные понятия
теории вероятностей" (М-Л., 1936, ОНТИ, НКТП).
2. Мы настаиваем на физическом определении независимости событий.
Однако утверждение, что два события независимы в том случае, если они
"никак не связаны друг с другом", вряд ли можно назвать операторным
определением. Лучше было бы сказать, что операторные определения для
конкретных случаев дает метафизический принцип, и достоверность этих
определений можно проверить из последствий. Но почему бы не
воспользоваться математическим определением независимости [т. е., по
существу, утверждением (3)] и не проверить это определение с помощью
статистических испытаний? Это хороший способ представления понятий, в
принципе, и именно этот способ используется в учебниках, но не на
практике.
Фактически, статистические испытания - это громоздкий и зачастую
неубедительный аппарат. Поэтому ученые сначала предполагают, что два
события независимы, потому что они никак не связаны друг с другом. Потом
они размышляют о возможных причинах того, почему эта независимость может
быть испорчена, и только в последнюю очередь используют статистические
испытания.
Глава 4. Лотереи и гороскопы
1. В действительности, время от времени покупать лотерейный билет (или
делать небольшие ставки в азартных играх) может оказаться разумным, если
вы делаете это ради забавы. Учебники по экономике рассматривают логику
подобного поведения, а также родственную проблему страхования (почему
имеет смысл покупать страховой полис, даже если вам известно, что
страховая компания нечестным образом наживается на вас). Мы же лишь
показали, что покупка большого количества лотерейных билетов в надежде
разбогатеть - далеко не лучшая мысль.
2. В большом числе попыток N пусть N (А) будет числом тех
попыток, когда реализуется событие "А", a N(A и В) - числом тех попыток,
когда реализуются и "А", и "В". Вероятность "В" при знании того, что "А"
реализовано, должна равняться прибли-зительно ЩА и в)
N(A) '
162
Примечания
что равносильно
N(A и В) N (А)
N ' N ' и потому приблизительно равно
ргоЬ("А" и "В")/ргоЬ("А").
Следовательно, справедливо дать определение:
ргоЬ("А" и "В")
ргоЬ("В", зная, что "А" реализуется)
р го 1) (" А ")
(Это так называемая условная вероятность.) Если "А" и "В" независимы,
правило (3) предполагает, что правая часть уравнения выглядит как
ргоЬ("А") х ргоЬ("В")
--------- ------= prob "В" ,
prob("A") ^ v
что доказывает правило (4).
3. Позвольте мне привести здесь краткое техническое рассмотрение
