Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
был в отъезде. Вышесказанный коллега перед отъездом оставил на письменном
столе записку с благодарностью, которая гласила, что ему очень жаль, что
он не смог повидать самого Геделя, и выражала надежду, что у него еще
будет шанс познакомиться с ним поближе в другой раз. Через некоторое
время он получил по почте конверт от Геделя. В конверте лежала его
собственная записка, в которой его предложение - Я надеюсь, что у меня
еще будет шанс познакомиться с вами поближе в другой раз - было
подчеркнуто Геделем, который карандашом приписал вопрос: Что конкретно вы
имеете в виду?
Курт Гедель умер в 1978 году от голодовки, которую устроил сам. Судя по
всему, ему казалось, что его хотят отравить или что-то в этом роде, и он
отказывался есть.
Если вспомнить о суицидах, совершенных Людвигом Больцманом и Аланом
Тьюрингом (который был гомосексуалистом в то время и в том месте, когда и
где это не принималось), можно сделать вывод, что ученые склонны
совершать самоубийства. Но такой вывод абсолютно ошибочен. Большинство
ученых, в действительности, достаточно нормальные люди, нормальные
зачастую настолько, что бывают скучными и не умеют фантазировать. И я
думаю, что никто не станет мне возражать, если я скажу, что даже
Сложность и теорема Геделя
137
в своей работе многие ученые скучны и лишены воображения. Даже их
некрологи часто бывают скучными и однотипными: они скорбят по слишком
ранней смерти, указывают на их активную роль в синагоге или церковной
общине, чествуют их "заразительный энтузиазм" и тому подобная чушь.
(Заразительный энтузиазм - это весьма бедственное состояние; такой
диагноз обычно ставят только после смерти.)
Но вернемся к Курту Геделю. Какие бы проблемы его не одолевали, он, по
крайней мере, не страдал (и не заставлял других страдать) от
заразительного энтузиазма.
Чтобы понять открытие Геделя, вероятно, неплохо было бы поразмышлять над
психологическим настроем, который характеризуется порядком, бережливостью
и упрямством, столь широко распространенными среди ученых (особенно
математиков) и столь для них полезными. Зигмунд Фрейд связал подобный
настрой с предрасположением к неврозу навязчивых состояний и с так
называемой анально-садистской стадией развития либидо2. Как бы то ни
было, подобный психологический склад естественным образом приводит к
тому, что математик пытается представить математику и математический
вывод в максимально чистом и упорядоченном виде. Соответственно великая
мечта всех математиков - основать математику на четко определенных
правилах вывода и конечном числе абсолютно явных фундаментальных
утверждений, называемых аксиомами. Эта мечта зародилась у Евклида,
древнегреческого математика (около 300 г. до н.э.), дожила до Давида
Гильберта, великого немецкого математика (1862-1943) и привела к
прогрессивной формализации всей математики. Арифметика целых чисел была
формализована достаточно рано, и пиком великой мечты математиков была
надежда на то, чтобы для каждого имеющего смысл утверждения о целых
числах систематическим образом можно было бы решить, является оно
истинным или ложным. Именно эту надежду и уничтожил Гедель.
Гедель показал, что если установить правила вывода и любое конечное число
аксиом, то существуют имеющие смысл утверждения, которые нельзя ни
доказать, ни опровергнуть. Точнее, допустим, что аксиомы, принятые для
целых чисел, являются непротиворечивыми, т. е. допустим, что, применяя
правила вывода, вы никогда не сможете доказать ни то, что утверждение
является истинным, ни то, что оно является ложным. Кроме того, существуют
истинные свойства целых чисел3, которые невозможно вывести из аксиом. И
если принять любое такое свойство в качестве новой аксиомы, то останутся
другие недоказуемые свойства.
138
Глава 23
Теорема Геделя о неполноте сыграла центральную роль в нашем понимании
основ математики. Сначала она стала серьезным потрясением. Потом привела
к прогрессивной перемене в системе убеждений математиков. При этом
упростилось сложное доказательство теоремы. Это упрощение произошло
благодаря введению новых концепций, которое частично осуществил Гедель, а
частично - другие (уместно привести в качестве примера машину Тьюринга).
В общем, открытие теоремы о неполноте привело к прогрессивному изменению
описания математики. В результате этого теорема о неполноте сейчас
кажется совершенно естественной и даже несколько тривиальной. Ранее
существовала великая надежда на то, что некоторый конечный набор истинных
утверждений (называемых аксиомами) образует базис, из которого можно
будет выводить все истинные утверждения о целых числах. Теперь нам
известно, что набор всех свойств целых чисел (т. е. набор всех истинных
утверждений о них) не имеет конечного базиса. Кроме того, мы обладаем
интуитивным пониманием того, почему не может существовать такого
конечного базиса, которое опять-таки основано на информации, как я сейчас
обозначу.
Мы уже видели, как можно определить количество информации, содержащееся в
