Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Однако по-прежнему остается вопрос: "Почему какой-то данный художник
постоянно создает работы с одним и тем же набором вероятностных свойств,
характеризующих именно этого художника?" Или возьмите другой пример:
"Почему ваш почерк так уникален, почему другим так сложно его
скопировать, а вам - изменить?" Мы не знаем ответов на эти вопросы,
потому что мы не знаем всех подробностей функционирования мозга. Но мы
понимаем что-то очень похожее, базовый факт, который в нектором смысле
является краеугольным камнем равновесной статистической механики.
И вот этот базовый факт. Если на сложную систему наложить простое
глобальное условие, то конфигурации, удовлетворяющие этому условию,
обычно обладают совокупностью вероятностных свойств, уникально
характеризующих эти конфигурации. Прочитайте вышеприведенное предложение
еще раз: оно намеренно написано неопределенным и метафизическим языком,
чтобы его можно было применить к живописи или музыке. Тогда авторство
какого-то определенного художника является "простым глобальным условием",
а "совокупность вероятностных свойств" позволяет нам определить
художника. Однако теперь мы хотим перейти к ситуации, связанной с
равновесной статистической механикой. В данном случае сложная система
обыкновенно будет состоять из большого количества частиц в ящике (наш
стандартный пример -
Равновесная статистическая механика
113
литр гелия). А простое глобальное условие будет состоять в том, что
полная энергия системы имеет некоторое максимальное значение Е. Мы
ограничиваем макроскопическое состояние системы, что, по утверждению,
определит ее микроскопическую вероятностную структуру.
Позвольте мне опять уступить побуждению написать уравнение. Я приведу
выражение для энергии системы частиц через скорости Vi частиц и их
положения xf.
энергия = Е \mv2i + Е V(Xj - Xi).
г i<j
Как мы видели ранее, - это кинетическая энергия i-ой части-
цы. Слагаемое V(xj - х^ - это потенциальная энергия, созданная при
взаимодействии г-ой и j-ой частиц. Мы предполагаем, что потенциальная
энергия зависит только от расстояния между двумя частицами и быстро
стремится к нулю при увеличении расстояния. Тогда наше простое глобальное
условие - это
энергия < Е.
Мы утверждаем, что если конфигурация положений Xi и скоростей Vi
удовлетворяет этому условию, то она обычно будет выглядеть очень особенно
и будет отличаться от конфигураций, соответствующих другим выборам
потенциальной энергии V или Е. Звучит не слишком правдоподобно, не так
ли? Что ж, чтобы понять все это, действительно потребовалось время, и
честь за это следует воздать Гиббсу и его последователям. Детали данного
анализа достаточно сложны и специальны, чтобы их можно было рассмотреть
здесь. Однако в нем присутствует простая и красивая центральная идея,
которую я сейчас объясню.
Но я вижу, что у вас возникло возражение, на которое я должен немедленно
обратить свое внимание. Если у нас есть конфигурация, удовлетворяющая
условию
энергия < Е,
она также будет удовлетворять и условию
энергия < Е\
когда Е' больше, чем Е. Следовательно, конфигурации, связанные с Е,
невозможно отличить от тех, что связаны с Е', что противоречит тому, что
я только что сказал; в этом случае мое утверждение не имеет смысла.
114
Глава 19
Однако мое утверждение спасает наречие "обычно". Существует много, много
больше конфигураций, имеющих энергию ^ Е', нежели конфигураций с энергией
^ Е. Следовательно, конфигурация с энергией ^ Е' обычно не будет иметь
энергию < Е, поэтому ее невозможно спутать с конфигурациями, имеющими
более низкую энергию. Говоря более техническим языком, энтропия,
связанная с Е', больше энтропии, связанной с Е, и соответствующий объем в
фазовом пространстве (или число состояний) тоже намного больше.
В некотором смысле я только что выразил простую и красивую центральную
идею, обещанную мной ранее. Позвольте мне сделать это еще раз на простом
и явном примере. Я принимаю потенциальную энергию V равной нулю, так что
теперь мое глобальное условие, связанное с энергией, принимает вид:
N
VV < -
г=1
Чтобы максимально все упростить, я приму, что мои N частиц находятся в
одномерном ящике, так что Vi - это скорее числа, чем векторы, и я запишу
2Е/т = R2. Тогда
г=1
говорит о том, что вектор в N измерениях с составляющими Vi имеет длину <
R. (Я воспользовался теоремой Пифагора.) Другими словами, конфигурации
допустимых скоростей являются точками внутри сферы радиуса R в N
измерениях. Какова доля конфигураций внутри сферы радиуса Она равна
отношению объемов
двух сфер: если ЛГ = 1; если ЛГ = 2; если N = 3,...,
если N = 10,..., менее одной миллионной, если N = 20, и т.д. Если у нас
много частиц, (т. е. если N - большое число), то практически
все конфигурации будут находиться вне сферы радиуса ^R. Точно
также они будут находиться вне сферы радиуса или
Из этого аргумента следует такой вывод: Возьмите сферу радиуса R в N
измерениях (N - большое число); тогда большинство
