Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
с другой стороны, физики, в том наиболее обширном смысле, который
включает все естественные науки. Кроме того, небезынтересно будет и
проследить за деятельностью человеческого разума, или мозга, в его
героических и зачастую жалких попытках постичь природу вещей. Выходя за
пределы проблемы случайности, мы попытаемся понять хоть какие-то аспекты
трехпараметрической связи странности математики, странности физического
мира и странности нашего собственного человеческого разума. Для начала
мне бы хотелось обсудить некоторые правила математических и физических
игр.
Глава 2
МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА
Математический талант зачастую развивается в очень раннем возрасте. Это
расхожее наблюдение, к которому русский математик Андрей Николаевич
Колмогоров добавил любопытное предположение. Он заявил, что нормальное
психологическое развитие человека останавливается в тот самый момент,
когда проявляется его талант к математике. Следуя этому утверждению,
Колмогоров счел, что психологически ему всего двенадцать лет. Своему
соотечественнику Ивану Матвеевичу Виноградову, который в течение
длительного времени был очень могущественным и нагонявшим немало страху
членом Советской Академии Наук*, он дал всего восемь лет. Восемь лет
академика Виноградова соответствовали, по Колмогорову, возрасту, когда
маленькие мальчики отрывают у бабочек крылышки и привязывают к хвостам
кошек пустые консервные банки.
Вероятно, не составит труда найти примеры, противоречащие теории
Колмогорова1, но при этом она оказывается истинной замечательно часто. На
ум сразу приходит крайний случай, выраженный в моем коллеге: его
психологический возраст, судя по всему, шесть лет, что создает
практические проблемы, когда ему приходится путешествовать одному. Этот
коллега достаточно хорошо работает как математик, но я не думаю, что он
смог бы выжить в гораздо более агрессивной среде физиков.
Так что же делает математику такой особенной, настолько отличной от
других областей науки? Отправную точку математической теории составляют
несколько основных утверждений в отношении определенного количества
математических объектов (вместо математических объектов можно было бы
говорить о словах или предложениях, потому что, в некотором смысле, это
они и есть). Начиная с основных посылок, человек, с помощью чистой
* Имеется в виду Академия Наук СССР. - Прим. ред.
Математика и физика
15
логики, пытается вывести новые утверждения, называемые теоремами. Слова,
которые используются в математике, могут быть знакомыми, например,
"точка" или "пространство", но при занятиях математикой важно не слишком
доверять повседневной интуиции и использовать только основные
утверждения, данные в самом начале. Если бы вы решили сказать "стул" и
"стол" вместо "точка" и "пространство", это было бы абсолютно приемлемо и
в некоторых случаях даже полезно; математики не питают неприязни к
подобному переводу. Тогда, если пожелаете, работа математика - это что-то
вроде грамматического упражнения с чрезвычайно строгими правилами. Исходя
из выбранных основных утверждений, математик строит цепочку последующих
утверждений, пока не появится утверждение, которое будет выглядеть
особенно изящно. Тогда математик пригласит своих коллег, чтобы показать
им вновь созданное утверждение; они выразят свой восторг и скажут: "Это
прекрасная теорема". Цепочка промежуточных утверждений составляет
доказательство теоремы, а теорема, которую можно сформулировать просто и
кратко, часто требует необычайно длинного доказательства. Именно длина
доказательств делает математику интересной, а потому она имеет
фундаментальное философское значение. С вопросом длины доказательств
связана проблема алгоритмической сложности, а также теорема Геделя,
которые мы обсудим в следующих главах2.
И поскольку математические доказательства так длинны, их трудно получать.
Математику приходится создавать, не допустив ни одной ошибки, длинные
цепочки утверждений, видя, что он делает и куда идет. Видеть значит уметь
догадаться, что истинно, а что ложно, что полезно, а что бесполезно.
Видеть значит чувствовать, какие определения нужно ввести и какие
утверждения являются ключевыми, то есть позволяющими направить теорию в
ее естественное русло.
Кроме того, нельзя считать, что математическая игра произвольна и
добровольна. Различные математические теории во многих отношениях связаны
друг с другом: объекты одной теории могут обрести толкование в другой,
что приведет к новым и более эффективным точкам зрения. Математике
свойственно глубокое единство. Она являет собой не просто набор отдельных
теорий, как-то: теория множеств, топология и алгебра, - каждая из которых
имеет свои собственные основные допущения; математика - это единое целое.
Математика - это огромное царство; и царство это принадлежит тем, кто
видит. Видящие - те, кто обладает математической интуицией, благодаря
своим способностям, получают
16
Глава 2
ощущение огромного превосходства над своими слепыми современниками. Они
