Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
В чем же заключалась причина тревоги физиков? Дело, видимо, в том, что,
когда жидкость постепенно возбуждается под
68
Глава 11
действием возрастающих сил, приложенных извне, принятая теория
предсказывает постепенное увеличение числа независимых частот,
присутствующих в жидкости. Предсказание же странного аттрактора выглядит
совершенно иначе: должен возникать континуум частот. На самом деле,
разницу можно проверить, проведя частотный анализ какого-нибудь сигнала,
созданного умеренно возбужденно жидкостью. Численное изучение провел Пол
Мартин в Гарварде. Кроме того, Джерри Голлаб и Гарри Свинней в Сити
Колледж, Нью-Йорк, поставили эксперимент1. В обоих случаях полученные
результаты говорили скорее в пользу картины возникновения турбулентности,
описанной Рюэлем-Такенсом, нежели Ландау - Хопфом.
Это стало переломным моментом. В то время, конечно же, это признали не
все, но после эксперимента Голлаба и Свиннея прежде противоречивые идеи
мало-помалу стали интересными, а потом и хорошо известными. Сначала
несколько, а потом много физиков и математиков начали работать над
странными аттракторами и чувствительной зависимостью от начальных
условий. Была признана важность идей Эдварда Лоренца. Возникла новая
парадигма, которая получила имя - хаос, - данное ей Джимом Йорке,
прикладным математиком, работающим в университете Мэриленда2. То, что мы
сейчас называем хаосом, является временной эволюцией с чувствительной
зависимостью от начальных условий. Таким образом, движение странного
аттрактора является хаотическим. Кроме того, можно говорить о
детерминистическом шуме, когда наблюдаемые нерегулярные колебания кажутся
шумными, но механизм, их создающий, является детерминистическим.
На фоне теории хаоса, благодаря своей особой красоте и значимости,
особенным образом выделяется один результат - каскад удвоений периода,
открытый Фейгенбаумом. Не вдаваясь в технические подробности, я попытаюсь
дать представление об открытии Митчелла Фейгенбаума. При изменении сил,
действующих на физическую динамическую систему, часто можно наблюдать
удвоение периода, как это показано на рисунке 11.1. Периодическая орбита
заменяется другой, близкой ей, но такой, что для возвращения в исходную
точку необходимо обойти эту орбиту дважды. Таким образом, время,
необходимое для возвращения в исходную точку, - называемое периодом -
примерно удваивается. Удвоение периода наблюдается при определенных
экспериментах с конвекцией: жидкость, нагретая снизу, подвергается
некоторому периодическому движению; изменение же места нагревания создает
другой тип периодического движения, период которого удваивает-
Хаос: новая парадигма
69
ся. Удвоение периода также наблюдалось в периодически текущем кране: при
большем его открытии (при определенных условиях) период удваивается.
Существует еще много подобных примеров.
Рис. 11.1. Удвоение периода: (а) проекция периодической орбиты; (б) эта
орбита заменяется другой, которая примерно в два раза длиннее.
Интересно, что удвоение периода может происходить снова и снова, давая
период, больший в 4, 8, 16, 32, 64,... раза. Этот каскад, удваивающий
период, запечатлен на рисунке 11.2. На горизонтальной оси отложены силы,
приложенные к системе, а точки, в которых происходят последовательные
удвоения периода, - это А\, А2, A3,...; они скапливаются в точке,
обозначенной А^. Посмотрим теперь на интервалы А±А2, А2А3, А3А4, А4А5, и
т.д. Они имеют свойство, что их последовательные отношения остаются почти
постоянными:
А1А2 ^ А2А3 ^ А3А4 ^
А2А3 А3А4 А4А5
Точнее, имеет место следующая замечательная формула: lim fnAn.+1 = 4,
66920 ...
n->00 Anjr\Anjr2
После того как Митчелл Фейгенбаум, который в то время был молодым физиком
и работал в Лос-Аламосе, открыл эту формулу в численном виде (он денно и
нощно играл со своим компьютером), он попытался ее доказать. Для этого он
последовал идеям физика Кеннета Вилсона (который тогда работал в
Корнелле) по ренормализационной группе. Он заметил, что последовательные
удвоения периода являются, в сущности, одним и тем же явлением, если
должным образом изменить их масштаб (т. е.
70
Глава 11
Период Т Период 2 Т 4 т Приложенная
---------1----------------1------1--1 mi----------->
A A A AAN4, сила
^оо
Рис. 11.2. Каскад удвоений периода. При изменении сил, приложенных к
системе, удвоения периода происходят при значениях, обозначенных Ai, А2,
Аз,..скапливающихся в Аоо. Обратите внимание, что для наглядности
отношение 4,66920. .. на этом рисунке заменено меньшей величиной.
при адекватном изменении единиц, используемых для различных параметров
задачи). Разработка необходимых изменений масштаба - дело нелегкое,
поэтому Фейгенбауму не удалось дать полного математического описания
этого вопроса. Впоследствии по идеям Фейгенбаума его предоставил Оскар
Аэнфорд (который тогда работал в Беркли). Интересно, что свое
доказательство Аэнфорд создал с помощью компьютера. Это означает, что
