Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
пространство, так как мы должны точно определить скорость во всех точках
пространства, которое занимает жидкость, а таких точек бесконечно много.
Но это не должно нас беспокоить. Рисунок 10.4(a) показывает постоянное
состояние жидкости: точка Р, представляющая систему, не движется. Рисунок
10.4(6) показывает периодические
62
Глава 10
Рис. 10.3. Колеблющаяся точка: (а) положение х; (б) положение х и
скорость V.
колебания жидкости: орбита точки Р теперь является петлей, вокруг которой
Р периодически циркулирует.
Нам было бы удобно "выпрямить" картинку 10.4(6), чтобы петля превратилась
в круг, а движение по нему совершалось с постоянной скоростью. (Это
делается с помощью того, что математики называют нелинейным изменением
координат; это все равно, что посмотреть на ту же самую картинку через
искажающее стекло.) Наше периодическое колебание или "мод" теперь
описывается рисунком 10.5(a).
Итак, у нас есть все идеи, необходимые для визуализации суперпозиции
нескольких мод: как показано на рисунке 10.5(6), точка Р, представляющая
систему, появляется в нескольких различных проекциях, чтобы двигаться по
кругам с различными угловыми скоростями, соответствующими разным
периодам. (Проекции должны быть выбраны должным образом, что включает
нелинейные изменения координат.) Если читателю интересно, он может
проверить, что эта временная эволюция не обладает чувствительной
зависимостью от начальных условий1.
А теперь взгляните на рисунок 10.6! Это перспектива временной эволюции в
трех измерениях. Движение происходит на
Турбулентность: странные аттракторы
63
Рис. 10.4. (а) Неподвижная точка Р, представляющая постоянное состояние;
(б) периодическая петля, представляющая периодическое колебание жидкости.
Все рисунки выполнены в бесконечном числе измерений и спроецированы на
двухмерный лист бумаги.
(а) (6)
Рис. 10.5. (а) Периодическое колебание (мод), описанное точкой Р,
движущейся с постоянной скоростью по кругу; (б) суперпозиция нескольких
мод, описанная в нескольких разных проекциях.
сложном множестве, которое называется странным аттрактором, а точнее -
аттрактором Лоренца2.
Эдвард Лоренц - метеоролог, который работал в Массачусетском
технологическом институте. Будучи метеорологом, он интересовался явлением
атмосферной конвекции, которое состоит в следующем: Солнце нагревает
Землю, вследствие чего низкие слои атмосферного воздуха становятся теплее
и легче, чем более высокие его слои. Это вызывает движение легкого и
теплого воздуха вверх, а более плотного и холодного воздуха - вниз. Эти
движения и образуют конвекцию. Воздух, как и рассмотренная ранее вода,
является жидкостью, поэтому его следует описывать точкой в
бесконечномерном пространстве. С помощью грубого приближения Эд Лоренц
заменил правильную временную эволюцию в бесконечномерном пространстве
временной эволюцией в трехмерном пространстве, которую он мог изучать с
помощью
64
Глава 10
Рис. 10.6. Аттрактор Лоренца. Компьютерное изображение,
запрограммированное Оскаром Лэнфордом (см. стр. 114 в Lecture Notes in
Math. no. 615 [Berlin: Springer, 1977]; воспроизведено с разрешения
автора).
компьютера. Компьютер выдал объект, который изображен на рисунке 10.6 и в
настоящее время известен как аттрактор Лоренца. Мы должны вообразить
точку Р, представляющую состояние нашей конвекционной атмосферы, как
движущуюся во времени по линии, нарисованной компьютером. В описанной
ситуации точка Р начинает свое движение около начала координат О, затем
обходит правое "ухо" аттрактора, затем несколько раз обходит его левое
ухо, затем дважды - правое, и т.д. Если бы начальное положение Р вблизи О
хоть чуть-чуть изменилось (настолько, что разницу нельзя было бы увидеть
невооруженным глазом), то детали рисунка 10.6 изменились бы полностью.
Общий аспект остался бы неизменным, но количество последовательных
обходов правого и левого ушей стало бы совершенно другим. Так происходит
потому, - как понял Лоренц, - что временная эволюция рисунка 10.6
обладает чувствительной зависимостью от начальных условий. Таким образом,
количество последовательных обходов правого и левого ушей является
непостоянным, очевидно, хаотичным и труднопредсказуемым.
Временная эволюция Лоренца не является реалистичным описанием атмосферной
конвекции, но ее изучение, тем не менее, дало очень сильный аргумент в
пользу непредсказуемости дви-
Турбулентность: странные аттракторы
65
жений атмосферы. Будучи метеорологом, Лоренц тем самым мог представить
веское оправдание неспособности людей его профессии создавать надежные
долгосрочные прогнозы погоды. Как мы уже видели, Пуанкаре сделал точно
такое же замечание гораздо раньше (Лоренц этого не знал). Однако ценность
подхода Лоренца состоит в том, что он является конкретным и применим к
реальному изучению движения атмосферы. Прежде чем оставить Лоренца,
замечу, что тогда как его работа была известна метеорологам, физики
узнали о ней довольно поздно.
