Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
(в данном случае "диссипативной", потому что в ней присутствует трение).
Если мы сумеем найти подходящую идеализацию истории человечества как
детерминистической временной эволюции, то и она будет динамической
системой.
Но вернемся к нашему вопросу. Является ли чувствительная зависимость от
начальных условий исключением или правилом среди динамических систем?
Имеем ли мы обычно долгосрочную предсказуемость или нет? На самом деле
существуют разные возможности. В некоторых случаях чувствительная
зависимость от начальных условий отсутствует (подумайте о маятнике, в
котором присутствует трение и который вследствие последнего остановится,
что несложно предсказать). В других случаях существует чув-
Адамар, Дюгем и Пуанкаре
49
ствительная зависимость от начальных условий для всех начальных условий
(это случай нашего бильярда с выпуклыми препятствиями, и вам придется
поверить мне на слово, что это не абсолютно исключительная ситуация).
Наконец, многие динамические системы таковы, что для некоторых начальных
условий долгосрочная предсказуемость имеет место, а для других - нет.
Существование всех этих возможностей, с одной стороны, может показаться
неутешительным. Но, с другой стороны, допустим, что мы можем сказать,
какие системы обладают чувствительной зависимостью от начальных условий и
в течение какого времени можно доверять предсказаниям в отношении их
будущего. Тогда мы действительно узнали бы что-то полезное относительно
природы вещей.
Быть может, на данном этапе неплохо будет посмотреть на чувствительную
зависимость от начальных условий с исторической точки зрения. Безусловно,
уже тысячи лет назад люди осознавали, что маленькие причины могут иметь
большие следствия и что будущее предсказать сложно. Что является
относительно новым, так это демонстрация того, что для некоторых систем
небольшие изменения начальных условий обычно приводят к предсказаниям,
настолько отличным, через некоторое время, что само предсказание в
действительности становится бесполезным. Это показал в конце
девятнадцатого века французский математик Жак Адамар1 (которому тогда
было около тридцати лет; он прожил до глубокой старости и умер в 1963
году).
Система, которую рассматривал Адамар, представляла собой странный вид
бильярда, в котором вместо плоского стола использовалась закрученная
поверхность отрицательной кривизны. Изучалось движение точки по этой
поверхности в отсутствие трения. Таким образом, бильярд Адамара
представляет собой то, что на техническом языке называется геодезическим
потоком на поверхности отрицательной кривизны. Этот геодезический поток
не слишком сложен с точки зрения математики2, и Адамар смог доказать
чувствительную зависимость от начальных условий в виде теоремы. (Это
доказательство гораздо проще, чем соответствующее доказательство для
бильярда с выпуклыми препятствиями, которое гораздо позже, в 1970-х
годах, дал Синай.)
Французский физик Пьер Дюгем* - один из тех, кто понял философское
значение результата Адамара. (Идеи Дюгема во многих областях науки
опережали время, в которое он жил, хо-
* Встречается также транскрипция Дюем (Duhem). - Прим. ред.
50
Глава 8
тя его политические взгляды были явно реакционными.) В книгу для
непосвященного читателя, опубликованную в 1906 году, Дюгем включил раздел
под названием "Пример математического вывода, абсолютно непригодного для
использования"3. Рассматриваемым математическим выводом, как он поясняет,
является вычисление траектории движения шара по бильярдному столу
Адамара. Он является "абсолютно непригодным", потому что маленькая
неопределенность, непременно присутствующая в начальных условиях,
приведет к большой неопределенности для предсказанной траектории, если мы
подождем достаточно долго, что делает предсказание бесполезным.
Другой французский ученый, который писал философские книги по науке в то
же время, - знаменитый математик Анри Пуанкаре. В своей книге "Наука и
метод", опубликованной в 1908 году4, он рассматривает вопрос
непредсказуемости весьма нетехническим образом. Он не цитирует Адамара в
том, что касается математической стороны этого вопроса (но не забывайте,
что Пуанкаре создал теорию динамических систем и знал этот предмет лучше
кого бы то ни было еще). Важное замечание, сделанное Пуанкаре, состоит в
том, что долгосрочная непредсказуемость примиряет случайность и
детерминизм. Вот это замечание, выраженное одним предложением: Очень
маленькая причина, которая от нас ускользает, определяет значительное
следствие, которое мы не можем проигнорировать, и тогда мы говорим, что
это следствие вызвано случайностью.
Пуанкаре хорошо знал, насколько полезны вероятности для описания
физического мира. Он знал, что случайность присутствует в повседневной
жизни. Поскольку он также верил в классический детерминизм (в его время
квантовой неопределенности не было), он захотел понять, каким образом
сюда закралась случайность. Очевидно, что он немало размышлял над этой
