Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
происходит столкновений. Когда бильярдный шар сталкивается с
препятствием, мы рассматриваем это как отражение центра шара большим
препятствием (большим в точности на радиус шара - см. рис. 7.1).
Траектория движения центра бильярдного шара отражается препятствием точно
так же, как луч света отражается зеркалом (именно это и подразумевается
под упругим столкновением). Имея эту зеркальную аналогию, сейчас самое
время обсудить изменения в начальных условиях в задаче с бильярдом.
Допустим, что на одном и том же бильярдном столе мы имеем реальный и
воображаемый шары. Мы ударяем по ним одновременно, так что они
приобретают одну и ту же скорость, но немного
44
Глава 7
Рис. 7.1. Бильярдный стол с выпуклыми препятствиями. Шар выкатывается из
нижнего левого угла, и последующая траектория движения его центра
отмечена сплошной линией. Воображаемый шар катится в несколько ином
направлении (пунктирная линия). После нескольких столкновений две
траектории уже никак не связаны друг с другом.
разные направления движения. Таким образом, траектории движения реального
и воображаемого шаров образуют определенный угол - который мы высокопарно
назовем альфа, - а расстояние между двумя шарами увеличивается
пропорционально времени. Обратите внимание, что этот рост,
пропорциональный времени, не является несдержанным экспоненциальным
ростом расстояний, который мы обсуждали ранее. Если через одну секунду
времени центры реального и воображаемого шаров находятся на расстоянии в
один микрон (одна тысячная миллиметра) друг от друга, через двадцать
секунд они окажутся на расстоянии всего в двадцать микрон (что по-
прежнему очень мало).
Недолгое размышление показывает, что отражение от прямой стенки
бильярдного стола не изменит ситуацию: отраженные траектории образуют тот
же самый угол альфа, как и ранее, а расстояние между реальным и
воображаемым шарами остается пропорциональным времени. Не забывайте, что
отражение шара от стенки бильярдного стола подчиняется тем же законам,
что и отражение света от зеркала: пока зеркало остается прямым, мы не
ожидаем увидеть ничего интересного.
Чувствительная зависимость от начальных условий 45
Но мы сказали, что на бильярдном столе имеются круглые препятствия,
которые соответствуют выпуклым зеркалам. Если вы когда-нибудь видели себя
в выпуклом зеркале, вам известно, что его действие отличается от действия
плоского зеркала. Это действие описывается в курсе оптики и в сущности
выглядит следующим образом: если вы посылаете пучок световых лучей под
углом альфа на выпуклое зеркало, пучок отраженных световых лучей имеет
другой угол - назовем его альфа штрих, - который больше угла альфа. Чтобы
все упростить, мы допустим, что новый угол альфа штрих в два раза больше
угла альфа. (Такое упрощение несколько чрезмерно, как мы увидим это
впоследствии.)
Вернемся же к нашему бильярдному столу с круглыми препятствиями и к двум
нашим бильярдным шарам, один из которых является реальным, а другой -
воображаемым. Изначально траектории движения двух шаров составляют угол
альфа, который не изменяется при отражении от прямых стенок бильярдного
стола. Однако после удара шаров о круглое препятствие их траектории
расходятся и образуют угол альфа штрих, который в два раза больше
первоначального угла альфа. Другой удар о круглое препятствие даст
траектории, расходящиеся под углом, равным 4 альфа. После десяти ударов
угол умножается на 1024 и т.д. Если в секунду происходит один удар, то
угол между траекториями движения реального и воображаемого шаров растет
экспоненциально со временем. В действительности, с помощью математики
несложно показать, что расстояние между двумя шарами также растет
экспоненциально со временем, пока остается маленьким1: мы имеем
чувствительную зависимость от начальных условий.
Теперь допустим, что все сложилось так, что расстояние между центрами
реального и воображаемого шаров удваивается каждую секунду. Тогда, через
десять секунд, первоначальное расстояние в один микрон увеличилось до
1024 микрон - около 1 миллиметра. Через двадцать (или тридцать) секунд
расстояние выросло бы более чем на один метр (или один километр)! Но это
чепуха: у бильярдного стола таких размеров быть не может. Причина такой
чепухи может состоять в нашем чрезмерном упрощении, когда мы допустили,
что после отражения круглым препятствием угол между траекториями двух
наших бильярдных шаров умножился на два, но остался маленьким. Тогда как
это допущение можно счесть приблизительно правильным, пока две траектории
находятся близко друг к другу, оно становится неадекватным впоследствии:
"реальная" траектория ударит по препятствию, а "воображаемая" - его
пропустит (или наоборот).
46
Глава 7
Позвольте же мне теперь подвести итог полученных нами данных о движении
шара по бильярдному столу с круглыми препятствиями. Если мы наблюдаем
одновременно движение "реального" шара и движение "воображаемого" шара с
несколько различными начальными условиями, то мы видим, что эти движения
