Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
выплату), которую вы попытаетесь сделать минимальной, а я - максимальной.
В 1928 году Джон фон Нейман доказал, что мой максимум вашего минимума
равен вашему минимуму моего максимума (это знаменитая теорема о
минимаксе)1. Это значит, что, поскольку мы оба - очень умные игроки, мы в
точности соглашаемся насчет того, как не согласиться.
Я не стану вдаваться в подробности математической задачи вычисления
вероятностей ваших и моих выборов, а также средней выплаты. Эта проблема
общего типа, называемого линейным программированием, и она не слишком
сложна, когда перед вами и мной открыто не много выборов. Когда же
таблица выплат увеличивается, задача усложняется. Впоследствии мы точно
обсудим, насколько сложным является линейное программирование.
Игры
41
Теория игр, как мы видели, является хорошей математической теорией,
показывающей, что секретный источник случайных цифр - полезная вещь. Но,
быть может, мы живем в детерминистической вселенной, где ничто не
происходит случайно. Если мы лишены Всемогущего Бога, пославшего нам по
частной линии связи случайные цифры, что мы можем сделать? Мы можем
бросить кость или монетку и утверждать, что при конкретных, операторно
определенных условиях это производит случайный выбор. Но на каком-то
этапе, нам придется выяснить, каким образом возникает подобная
хаотичность. Это довольно сложная задача, и на ее решение у нас уйдет
несколько следующих глав.
Глава 7
ЧУВСТВИТЕЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
Вы помните историю о мудром человеке, который изобрел шахматы? В качестве
награды за свое изобретение он попросил царя положить одно рисовое
зернышко на первый квадратик шахматной доски, два зернышка - на второй
квадратик, четыре - на третий и т.д., удваивая количество рисовых
зернышек на каждом последующем квадратике. Сначала царь думал, что это
очень скромная награда, пока не обнаружил, что риса нужно так много, что
такого его количества нет ни у него, ни у какого-либо другого царя. Это
легко проверить: если удвоить какую-либо величину десять раз, то это
равносильно ее умножению на 1024, если вы удвоите эту же величину
двадцать раз, вы умножите ее более чем на миллион и т. д.
Про величину, которая удваивается по прошествии определенного времени, а
потом еще раз удваивается через тот же промежуток времени, и это
происходит снова и снова, говорят, что она растет экспоненциально. Как мы
только что увидели, очень скоро она станет огромной. Экспоненциальный
рост также называется ростом с постоянным коэффициентом: если вы положите
деньги в банк с постоянной процентной ставкой, равной 5%, то их
количество удвоится примерно через 14 лет при условии, что вы можете
пренебречь налогами и инфляцией. Такой тип роста является естественным, и
он широко распространен в реальном мире..., но никогда не длится слишком
долго.
Мы воспользуемся идеей экспоненциального роста, чтобы понять, что
происходит, когда вы пытаетесь удержать карандаш в равновесии, ставя его
на острие. Если вы не будете мошенничать, то у вас ничего не выйдет. Так
происходит потому, что карандаш никогда не находится точно в равновесии,
и любое откло-
Чувствительная зависимость от начальных условий
43
нение приведет к тому, что карандаш упадет на одну или другую сторону.
Если падение карандаша изучать по законам классической механики (чего мы
делать не будем), то обнаруживается, что он падает экспоненциально быстро
(приблизительно и, по крайней мере, в начале падения). Таким образом,
отклонение карандаша от равновесия будет умножено на 2 через какой-то
промежуток времени, затем опять на 2 через следующий промежуток времени и
т.д., так что очень скоро карандаш окажется лежащим на столе.
Наше рассмотрение карандаша дает пример чувствительной зависимости от
начальных условий. Это означает, что небольшое изменение в состоянии
системы при начале отсчета времени (исходном положении или скорости
карандаша) создает последующую перемену, которая экспоненциально растет
во времени. В таком случае маленькая причина (несильное подталкивание
карандаша вправо или влево) имеет большое следствие. Могло бы показаться,
что для того, чтобы произошла эта ситуация (маленькая причина, создающая
большое следствие), необходимо исключительное состояние при начале
отсчета времени, вроде неустойчивого равновесия карандаша на его острие.
Противоположное тоже истинно: многие физические системы выказывают
чувствительную зависимость от начальных условий для произвольных
начальных условий. Это несколько противоречит интуиции, так что
математики и физики потратили немало времени на то, чтобы хорошо понять,
как же все происходит.
Представлю другой пример: пример игры в бильярд с круглыми или выпуклыми
препятствиями. Как это всегда делают физики, мы несколько идеализируем
систему: мы пренебрегаем "вращениями", трением и допускаем, что
столкновения являются упругими. Нас интересует движение центра
бильярдного шара, которое является прямолинейным и равномерным, пока не
