Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем рассматривать элементы алгебры с€ как наблюдаемые величины нашей классической решетчатой системы. Элементы с€^ тогда являются физическими величинами, которые могут быть измерены в конечной области Л. Вероятностная мера р Є E называется состоянием. Мы можем интерпретировать ее как функционал, сопоставляющий наблюдаемой ее среднее значение на Cl, т. е. как положительный линейный функционал на cS, для которого р(1) = 1.
1.2. Взаимодействия
Взаимодействием называется такая действительная функция Ф на множестве
U °Л,
IЛ <оо, AcL
32 Глава I
что Ф|О0 = 0 и при любом х G L
|ф|x = J2tv\ sup іф^і < °°’ ^1-3)
хэж \Х\ хеПх
где |Х| = card X. Для данного Ф определим энергетическую функцию
{7д : Од і—> R для каждого конечного Л С L, положив
иШ) = ]Г Ш\Х). (1.4)
ХСЛ
Мы будем писать Ua вместо {7д везде, где это не приводит к двусмысленности.
Перепишем Ua(0 в виде суммы
ua(o = Y E \hmx)- (L5)
хЄАХ : хЄХсА ' '
Отсюда следует, что
і^лі<Еіфі- (1-6)
жЄЛ
В оставшейся части этой главы мы будем предполагать, что вместо условия (1.3) выполнено более сильное требование
Іфіи = E suP 1ф(?)1 < +°°- (1-7)
Если Л, M — непересекающиеся подмножества L, причем Л конечно и С Є то мы можем определить величину
wAM(o = Е* ф(^іх)’ (1-8)
х
где ^2* означает суммирование по конечным множествам X С Л |J M, для которых X Р| Л ф 0 и X Р| M ф 0. Таким образом,
ГлмК?Нф11- (1.9)
ЖЄЛ
Если множества Л, M конечны, то справедливо следующее разложение:
Ua и м = Ua + Um + Wam- (1-Ю)
1.3. Гиббсовские ансамбли и термодинамический предел 33
1.3. Гиббсовские ансамбли и термодинамический предел
Гиббсовским ансамблем для конечной области Л С і и взаимодействия Ф называется вероятностная мера рщ на Од, определенная соотношением
V(A){C} = ZX1 ^M-Ua(O), (1-11)
где
Za=YI
?ЄПЛ
Термодинамический предел получается, когда Л стремится к бесконечности (в этом случае мы будем писать Л —> L). В нашей ситуации это означает, что AdA для любого конечного множества Д С L начиная с некоторого Л, т. с. предел берется по возрастающей цепи конечных подмножеств L, упорядоченных по включению.
Теперь мы докажем существование термодинамического предела для гиббсовских ансамблей при помощи теоремы компактности.
1.4. Предложение
Пусть (Mn) — последовательность конечных подмножеств L таких, что Mn —> L и P(Mn) является вероятностной мерой на Qм„ при любом п. Тогда можно выбрать такую подпоследовательность (Mrn), что при любом AcL существует следующий предел:
Iim a am' Pimi ) = PA-
П^ОО п
Кроме того, найдется единственная вероятностная мера р на Q, для которой
PA = CtAP
при всех Л.
Заметим, что алм„ At(Mrl) определено только при Mn D Л, т. е. только при достаточно больших п. Так как конечные подмножества Л множества L образуют счетное семейство и множества il \ конечны, то существование подпоследовательности (Mn), для которой справедливо (1.12), вытекает из диагонального процесса Кантора. В качестве следствия (1.12) имеем a am рм = PA Для любого Л С М. Таким образом, мы можем определить p(Aoqla) = Pa(A) при А Є cS(Q-A) и продолжить по непрерывности
34
Глава I
на cS} Единственность р следует из плотности множества IJ cSa в cS. Мы бу-
л
дем говорить, что р является термодинамическим пределом вероятностных
мер р(Ау
При доказательстве мы не использовали того факта, что вероятностные меры //(Л) — гиббсовские ансамбли. Как мы увидим в параграфе 1.6, в этом случае термодинамический предел р обладает специальными свойствами.
1.5. Гиббсовские состояния
Мы будем называть меру <т Є E гиббсовским состоянием (для взаимодействия Ф), если для любого конечного множества Л С L существует такая вероятностная мера стгдл на Ql\a-, что при всех Сл Є CIa справедливо равенство: г-
(«ло-){?л} = / <ть\а((1г))И(А)г,{?а}, (1-14)
ОїДЛ
ГДЄ гл e~UA($A)~WA. !AA(^Vr7)
At(A)1)КЛ) — ^ e-UA(VA)-WA,L\A(r)AVv)' ^ )
гїлЄПл
В этой формуле Ca V г] — элемент ( пространства Cl, для которого ?|Л = Ca, (\(L \ Л) = і) и опущены выражения с неопределенными Ca V rj и г]а V г/. Последнее означает, что если элемент Ca V г? не определен, то мы полагаем ехр(—Wa, l\a(?,a V г/)) = 0. Кроме того, мы будем считать дробь (1.15) равной нулю, если ее числитель обращается в ноль. Заметим, что в силу предположения о локальной конечности множества S' множества {г/ Є ClL\а : Ca V 7] Є Cl} и {г/ Є CIl\a ’¦ Ca V rj не определен} открыты. С другой стороны, Waj l\a на множестве {г/ Є CIl\a'- Ca V г? Є О} является равномерно сходящейся суммой непрерывных функций (см. (1.7), (1.8)). поэтому функции Г] H-> ехр( — WA, L\a(?,A V rj)), Г) H^ Р(А)г]{?,а} непрерывны на ClL\A-
1.6. Термодинамический предел гиббсовских ансамблей
В этом параграфе мы докажем, что если р — термодинамический предел гиббсовских ансамблей р(А) Для взаимодействия Ф, то р является гиббсовским состоянием для взаимодействия Ф.
1 Для данного Л можно выбрать такое конечное множество М, что о \ д/ Q \/ = о \ О. Тогда Ip(Aoqa)I = \ра(А)\ = \рм(Л 0 аАм)\ =% 11-4 о qamII = 11-4 о аЛ11-
