Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
ных относительно т. Если т — мера Лебега на М, то равенство а = = а х т/(а х m)(U) задает на Q некоторую меру а Є J.13 Отображение а а определяет биекцию I I, и но теореме Абрамова [1]
hT(a) = — а
С.З. Специальный поток над пространством Смейла
Пользуясь введенными выше обозначениями, предположим, что О — пространство Смейла, т — топологическое перемешивание и фс€а(^1).
13Чтобы определить меру сг, достаточно при любом T У: max t задать па Q / [О, Т] прямое произведение cr' = ахт и взять нормированное ограничение меры сг' на U. Легко проверить, что результат не будет зависеть от Т. — Прим. ред.
Приложение С. Потоки 275
Ф(()
Пусть, далее, А Є c^(Vt), Ip(Si) = J А(?, и) du и f Є c^a (Tl). Тогда для А
о
существует единственное равновесное состояние а на Г2, причем а соответствует единственному равновесному состоянию а Є I на О, отвечающему функции if -P(A) ¦ ф (Боуэн и Рюэль [1]). Если (Tt) — топологическое перемешивание, то (сг, Tt) — поток Бернулли (Бунимович [1], Ратнер [2]). Положим
•47)
Ca(S) = П [l - ехр f (A(TtX1) - s) eft] ,
'I о
где произведение берется по всем периодическим орбитам 7 потока (Tt), А (7) — примитивный период орбиты 7, a I1 - произвольная точка этой орбиты. Функцию Ca(s) можно переписать в виде
OO га—1
C4(S) = ехр E ехр E MrkO - 8гФ(тк0}-
га= I ^GFixTrri k=O
Она аналитична при Res > P(A) и имеет простой полюс в точке P(A) (Рюэль [6]).
С.4. Проблемы
Предположим, что (т1) — топологическое перемешивание.
(a) Пусть B1, B2 Є c^a(U) и supp Si, B2 С {(С и): О < и < ф(?)}. Верно ли, что разность сг(В\ ¦ (B2 о Tt)) — Cr(B1)Cr(B2) при |t| —> сю стремится к нулю с экспоненциальной скоростью?
(b) Существует ли такое г > 0, что функция Cl мероморфна при Re s > > P(A) — г и имеет единственный полюс в точке P(A)I
[Ответы на оба эти вопроса — отрицательные (см. Рюэль [10]). В то же время, как показали Пэрри и Полликотт [1], функция С голоморфна в некоторой окрестности прямой Res = P(O), за исключением точки P(O), где она имеет полюс. Таким образом, у теоремы о простых числах существует аналог, касающийся периодических орбит .4-потоков.J
Литература
L. М. Abramov
[1] «On the entropy of a flow», Dokl. Akad. Nauk SSSR 128, 873-875 (1959). English translation, Amer. Math Soc. Transl., Ser. 2, 49, 167-170 (1966).
R. L. Adier, A. G. Konheim, and М. H. McAndrew
[I] «Topological entropy», Trans. Amer. Math. Soc. 114, 309-319 (1965).
D. V. Anosov
[ I ] «Geodesic flows on a compact Riemann manifold of negative curvature», Trudy Mat. Inst. Steklov 90 (1967). English translation, Proc. Steklov Math. Inst. 90 (1967).
H. Araki
[I] «Gibbs states of a one-dimensional quantum lattice», Commun. Math. Phys. 14, 120-157 (1969).
R. Berger
[I] «The undecidability of the domino problem», Mem. Amer. Math. Soc., №66, 1966.
R Billingsley
[I] Ergodic Theory and Information. John Wiley, New York, 1965.
N. Bourbaki
[1] Elements de mathematique. Integration. Chapitres I, 2, 3, et 4, 2e ed. Hermann, Paris, 1965.
[2] Elements de mathematique. Integration. Chapitre 5, 2e ed. Hermann, Paris, 1967.
R. Bowen
[1] «Markov partitions for axiom A diffeomorphisms», Amer. J. Math. 92, 725-747 (1970).
[2] «Markov partitions and minimal sets for axiom A diffeomorphisms», Amer. J. Math. 92, 907-918 (1970).
Литература 277
[3] «Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces», Trans. Amer. Math. Soc. 153, 401^4-14 (1971).
[4] «Symbolic dynamics for hyperbolic flows», Amer. J. Math. 95, 429-459 (1973).
[51 «Some systems with unique equilibrium states», Math. Systems Theory 8, 193-202 (1974).
[6] Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov diffeomorphisms. Lecture Notes in Math. №470. Springer, Berlin, 1975.
R. Bowen and D. Ruelle
[I] «The ergodic theory of axiom A flows», Inventiones Math. 29, 181-202 (1975).
L. A. Bunimovic
[I] «Imbedding of Bernoulli shifts in certain special flows», Uspehi Mat. Nauk 28, №3, 171-172 (1973).
D. Capocaccia
[I] «А definition of Gibbs state for a compact set with Zv action», Commun. Math. Phys. 48, 85-88 (1976).
G. Choquet and P.-A. Meyer
[I] «Existence et unicite des representations integrates dans Ies con vexes compacts quelconques», Ann. Inst. Fourier 13, 139-154 (1963).
K. L. Chung
[I] Markov Chains with Stationary Transition Probabilities. Springer, Berlin, 1967.
J. P. Conze
[I] «Entropie d’un groupe abelien de transformations», Zeitschr. Wahrsche-inlichkeitstheorie Verw. Gebiete 25, 11-30(1972).
M. Denker
[I] «Remarques sur la pression pour Ies transformations continues», C. R. Acad. Sci. Paris 279, A967-A970 (1974).
M. Denker, C. Grillenberger, and K. Sigmund
[I] Ergodic Theory on Compact Spaces. Lecture Notes in Mathematics №527. Springer, Berlin, 1976.
E. I. Dinaburg
278
Литература
[1] «The relation between topological entropy and metric entropy», Dokl. Akad. Nauk SSSR 190, №1, 19-22 (1970). English translation. Soviet Math. Dok 11, 13-16 (1970).
