Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторый дополнительный материал помещен в форме упражнений в конце каждой главы.
Библиографические ссылки даны или в самом тексте или в замечаниях в конце главы. Для ориентации может быть полезным читать сначала эти замечания, а потом — соответствующую главу. Для понимания предмета особенно рекомендуем работы Рюэля [1], Добрушина [2], [3], Ланфорда и Рюэля [1], Израэля [1] и Синая [4].
Пояснительные сведения собраны в приложениях А.1-А.5. Эти приложения напоминают некоторые хорошо известные факты в общепринятой терминологии. Вообще говоря, предполагается, что читатель знаком с основными понятиями функционального анализа, но от него не требуется знаний физики.
Некоторое количество нерешенных задач собрано в приложении В. Приложение С содержит краткое введение в теорию потоков.
Теперь сделаем несколько замечаний относительно определений и терминологии. Мы часто будем обозначать через |Х| число элементов в конечном множестве X. В главах 5-7 мы будем использовать символы Z>, Z^, Z<, Z^ для обозначения множеств целых чисел, которые соответственно > 0, ^ 0, < 0 и ^ 0. Мера р (она может быть по-другому обозначена в тексте) всегда будет предполагаться радоновой мерой на компактном множестве О. Если /: О —> SY — непрерывное отображение, то образ р
0.3. Краткий обзор содержания
29
относительно / (см. приложение А.4) будем обозначать через f р (а не, как обычно, через f*p).
Для более широкого изучения равновесной статистической механики мы отсылаем читателя к книге Рюэля [3] и превосходной монографии Боуэна [6] по приложениям к дифференцируемым динамическим системам6. Упомянем также монографию Израэля [2] и заметки Ланфорда [2], Джо-джии [1] и Престона [1,2]. Материал монографий по статистической механике, планируемых к издательству различными авторами, не включен в эту книгу. Заметим, что на данный момент большое количество результатов не имеет законченной формы и, таким образом, не может быть опубликовано.
Перед ознакомлением с главой 1 рекомендуем читателю просмотреть быстро приложения А.1-А.5.
^'Современное введение в эргодическую теорию и топологическую динамику CM. в книгах Уолтерса [2], Денкера, Грилленбергера и Зигмунда [1].
Глава I
Теория гиббсовских состояний
Эта глава посвящена общей теории гиббсовских состояний. Инвариантность относительно трансляций не предполагается.
1.1. Пространство конфигураций
Предположим, что даны следующие объекты:
L: бесконечное счетное множество;
Ож: конечное множество при любом ж Є ?;
S'-, множество конечных подмножеств L, которое является локально конечным, т. е. любой элемент X Є L содержится только в конечном числе множеств Л G ^r;
(OvW: семейство пространств С П 0,х.
жЄЛ
Теперь мы можем определить пространство конфигураций’.
О = {<Є Є Y[ : (VA Є 9) ?|Л Є Од}. (1.1)
xGL
Мы всегда будем предполагать, что 0^0. Множество & может быть пустым. В этом случае O= П
XGL
Множество L удобно представлять как кристаллическую решетку, в каждом узле х Є L которой система может находиться в конечном числе различных состояний ? Sl1. Например, в модели сплава множество Hx является множеством классов атомов, которые могут находиться в х. Для систем спинов Qx является множеством возможных спиновых ориентаций атома в точке х. В качестве моделей часто рассматривают решетчатый газ с 0,х = {0, 1} (значения 1 и О принимаются в зависимости от того, находится в узле х атом или нет) и спиновую систему с = {1, —1} (знак перед 1 выбирается в зависимости от ориентации спина). Конфигурацией нашей системы является элемент ? = (?,х)х^ь множества П Ож. Мы будем
хЄЬ
1.2. Взаимодействия
31
накладывать определенные условия на элементы (Сж)жєЛ множества Од-Например, для решетчатого газа таким условием является запрет присваивать одинаковые символы двум соседним узлам решетки (в этом случае говорят, что частицы на решетке имеют твердую сердцевину).
Для любого множества S Cl L положим
fis = {(e[[fii:(VAe^:AcS)^Ae ^Л}' (1-2)
Так как Cl ф 0, то множество Cls не является пустым. Введем на Clx дискретную топологию, а на множестве П — топологию прямого произ-
X^S
ведения, в которой по теореме Тихонова оно является компактом. Тогда пространства Cls и, в частности, Cl тоже компактны. Подмножества S индуцируют непрерывные отображения as'- Cl і—> Cls, где asS, = S,\S или Cts(S,x)x?L = (?,x)xes¦ В принципе, мы можем определить отображение
O.TS'- Os н-> CIt при любом SdT. Пусть cS = cS(Cl) — алгебра действительных непрерывных функций на Cl. Нетрудно проверить, что алгебра с€ является банаховым пространством относительно равномерной нормы и вероятностные меры на Cl образуют компактное выпуклое подмножество E слабо сопряженного пространства cS* (cS* — пространство действительных мер на Cl, его топология совпадает со слабой топологией сопряженного к с€ пространства). Множество E с индуцированной на нем топологией метри-зуемо. Для конечного Ac L обозначим через cS^ алгебру функций вида А о схЛ, где А Є cS(ClfC). По теореме Стоуна-Вейерштрасса объединение множеств ‘й’л всюду плотно в с€.
