Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
В.З. Точка зрения абстрактной теории меры (глава 4)
В замечании 4.5 гиббсовское состояние получается из другого гиббсовского состояния умножением на непрерывную функцию и переходом к пределу в слабом смысле. Существует ли вариант этого подхода в рамках
^Некоторые из этих задач сопровождаются комментариями автора, присланными специаль-но для русского издания. Эти комментарии помещены в квадратные скобки. — Прим. ред.
10Первым этот вопрос исследовал М. Б. Аверинцев [1]. Cm. также Козлов [1], где имеются ссылки на другие работы. — Прим. ред.
11C этой проблемой связана «теория Пирогова-Синая», изложенная в книге Синая [5]. — Прим. ред.
Приложение В. Нерешенные задачи
271
абстрактной теории меры? В частности, можно ли использовать бернулли-евское свойство из теоремы 5.10?
В.4. Одна теорема Добрушина (глава 5)
Можно ли теорему Добрушина [4] об аналитичности давления для одномерных систем обобщить на перемешивающие системы?
В.5. Определение давления (глава 6)
Если т разделяет траектории, то давление определяется с помощью предельного перехода при а —> сю (см. конец параграфа 6.7). Можно ли здесь использовать предел при Л /1 оо. Заметим, что это возможно в ситуации главы 3 (следствие 3.13).
В.6. Гипотеза Шуба об энтропии (глава 6)
Пусть / — диффеоморфизм компактного многообразия и /* — соответствующий линейный оператор на гомологиях (с вещественными коэффициентами). Верно ли, что логарифм спектрального радиуса оператора /* не больше топологической энтропии преобразования /? По поводу этой хорошо известной гипотезы см., например, Мэннинг [2]. [Для диффеоморфизмов класса Coa гипотеза Шуба была доказана Иомдином [1].]
В.7. Условие (SS3) (глава 7)
Если выполняются условия (SSl) и (SS2), то существует ли метрика d, для которой имеет место (SS3) и найдется такая константа L, что
d{fx, fy) < Ld(x, у), dif^x, /_1у) < Ld(x, у)
(см. (7.12))? [Ответ на этот вопрос — положительный: Фрид [1] показал, что существует метрика d, для которой выполняется условие (SS3), а функции /, /-1 удовлетворяют условию Липшица; в частности, функция С из следствия 7.10(c) является гельдеровской. По поводу растягивающих отображений сошлемся на статью Ковена и Редди [1].]
272
Приложение В. Нерешенные задачи
В.8. Гиббсовские состояния на пространствах Смейла
(глава 7)
Всегда ли гиббсовское состояние на пространстве Смейла (см. § 7.18) является равновесным? [В работе Найдна [1] получен положительный ответ на этот вопрос.]
В.9. Когомологическая интерпретация (глава 7)
Можно ли дать когомологическую интерпретацию формулы Мэннинга (предложение 7.22) и рациональной дзета-функции C(z)? (Об этой проблеме см., в частности, Френке [1].)
В.10. Потоки Смейла (глава 7 и приложение С)
Существует ли вариант теории пространств Смейла для потоков? (По этому поводу см., например, Боуэн [4].) Cm. также приложение С.4. [Cm. Полликотт [1].]
Приложение С Потоки
Поток на множестве Г2 — это семейство отображений
ражение. Существует несколько неэквивалентных способов, позволяющих заменить в термодинамическом формализме TL на R. Здесь мы не будем рассматривать обычную статистическую механику непрерывных одномерных систем (см. Рюэль [3]), а опишем формализм, пригодный для изучения потоков на дифференцируемых многообразиях.
С.1. Термодинамический формализм на метризуемом
Пусть П — метризуемый компакт И (Tt) — непрерывный поток, т. е. (х, t) TtX — непрерывное отображение. Множество I, состоящее из т-инвариантных вероятностных мер на Г2, выпукло и компактно в слабой топологии. Если сг Є I, то
где hT(cr) называется (средней) энтропией меры а относительно потока (тг) (см. Абрамов [I]).12
Пусть d — метрика на Г2, совместимая с заданной топологией. Множество S С Г2 называется (Г, є)-разделенньім (где T > 0, є > 0), если для любой пары не совпадающих х, у Є S найдется такое t Є [0, Г], что d(Tlx, Ttу) > є. Для А Є c^(Cl) положим
Tt: Г2 Cl, для которого
¦* и т° — тождественное отоб-
компактном множестве
hTt(cr) = \t\hT(cr),
T
Zt(A, є) = sup j exp / A(Ttx)dt: S является (Г, є) -разделенным j,
X^S Q
P(A) = Pt(A) = Iim Iim sim — log Zt(A, є).
является
12Из последнего равенства видно, что /г-г(сг) = hTi (сг) — Прим. ред.
274 Приложение С. Потоки
Так определенное P(A) не зависит от выбора метрики на Cl. Если
і
A1(X) /Ж т*ж) ей, то P(A) = PtT-(Ax). Давление P удовлетворяет вари-о
ационному принципу
Pt(A) = m&x[hT(cr) + сг(А)]
CrEl
(см. Боуэн и Рюэль [1]). Мера сг, максимизирующая hT(cr) + сг(А), называется равновесным состоянием для А.
С.2. Специальные потоки
Пусть О — компактное метризуемое пространство, т: О і—^ Г2 — гомеоморфизм и ф: О R — положительная непрерывная функция. Отождествив в множестве
U = {(?, м)єОхМ:0^м^ ї/ЧО}
точки (?, ф(?)) и (т?, 0), мы получим компактное метризуемое пространство П. На П можно определить непрерывный ПОТОК (Tt), для которого
і и) = (Cl и + t), если О < и +1 < Ф(0-
Пусть а принадлежит множеству I вероятностных мер на О, инвариант-
