Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
d((yn), [(хп), (Уп)}) = d(xо, уо) < d((xn), (уп)).
Кроме того,
d(i~1(xп), f_1(y„)) > \~1d((xn), (уп))¦ (7.12)
Таким образом, SI (с отображением [-, ¦] и гомеоморфизмом ) является пространством Смейла, канонически связанным с растягивающим отображением /.
7.27. Замечания
(а) Поскольку О, f, тг определены так же, как аналогичные объекты в в параграфе 6.17, можно утверждать, что тт индуцирует биекцию <т ст
множества f-инвариантных состояний па SI и множества /-инвариантные состояния ст на SI, для которой h(cr) = h(cr). Кроме того, если А Є SI),
то Р(А о тт) = P(A) (см. § 6.18).
7.28. Результаты для растягивающих отображений 177
(b) 7Г — биекция множеств Fixf" и Fix/" (доказательство очевидно).
(c) Отображение tv — сжатие. Следовательно, если А — гельдеровская функция на Cl, то Ao tv — гельдеровская функция на О
(d) Отображение / топологически (+)-транзитивно (соответственно, перемешивает) тогда и только тогда, когда таковым является отображение f. [f топологически (+)-транзитивно, если и только если для любых непустых открытых множеств U, V С Г! и любых р, q, N > 0 существует такое п > N, что
^ifpTV-1U) П (^tv-1V) ф 0, или если существует такое п > N + р — q, что
(TV-1U) П ^-nTV-1V) ф 0.
Так как f-nTv-1V = (Tvfn)-1V = (ZnTv)-1V = iv-1(fn)-1V, это условие можно переписать в виде
(TV-1U)H (Tv-^fn)-1V) ф0,
или
и П (P)-1V Ф 0 или ри п V Ф 0.
Случай перемешивания рассматривается аналогичным образом.]
7.28. Результаты для растягивающих отображений
Из приведенных замечаний видно, что теория, связанная с давлением и равновесными состояниями для пространств Смейла, обобщается на случай растягивающего отображения. В частности, если отображение / топологически (+)-транзитивно и А Є cIoa(Cl), то существует единственное равновесное состояние рА, т. е. единственное /-инвариантное состояние, для которого
Kp) + р(а)
принимает максимальное значение, равное P(A). Аналогичным образом, читатель может проверить, что почти все утверждения следствий 7.10, 7.12, 7.13 переносятся на растягивающие отображения буквально или с простыми изменениями.
Используя замечание 7.27(b) о периодических точках, можно показать, что остаются справедливыми также теоремы 7.20, 7.24 и следствие 7.25.
Дальнейшие результаты получаются при помощи марковских разбиений пространства Г2.
178
Глава 7
7.29. Марковские разбиения
Пусть (Ri) — марковское разбиение пространства Cl. Каждое II1 имеет вид [Ci, Di], где Ci совпадает с замыканием в V3T(S) при некотором ж* множества своих внутренних точек. Поэтому каждое множество ттСі С Cl имеет всюду плотную внутренность. Мы определим множества Sj С Cl как замыкания минимальных непустых пересечений множеств TrintCi. Множества Sj непусты, замкнуты, имеют всюду плотную внутренность и покрывают Г2. Кроме того,
(a) int Si П int Sj = 0, если г ф j;
(b) каждое f Si является объединением множеств Sj.
Семейство (Si) будем называть марковским разбиением6 для растягивающего отображения /.
Множества 7г 1S1 удовлетворяют условиям, определяющим марковское разбиение пространства Cl (эти множества не имеют малого диаметра, но мы можем считать, что при некотором N > 0 семейство (iN тт-1 Si) является настоящим марковским разбиением пространства Г2. Поэтому можно построить символическую динамику. Более точно, пусть Oo — совокупность множеств Si. Положим
Г 1, если int Sj П /^1IntSj ф 0,
tSiS, = Sn
IOb противном случае.
Определим пространство O^ так же, как это было сделано в параграфе 5.8, и введем односторонний сдвиг т: O^ равенством т(^п)п^о =
= (Zn+i)n^o- Этот сдвиг очевидным образом связан со сдвигом т на пространстве О.
7.30. Теорема
Если S = (Zn)n^o Є O^, mo Pl f~n?,n состоит из единственной точило
ки тт (S1)- Кроме того,
(a) Отображение тг: O^ і—> Cl является непрерывным и сюръектив-
ным.
(b) 7Г О T = / О 7Г.
s Марковские разбиения для растягивающих отображений можно получить и непосредствен-но с помощью упрощенной конструкции марковских разбиений для пространств Смейла; см. Боуэн [1].
7.31. Приложения 179
(c) Отображение 7г-1 однозначно определено на массивном множестве Cl \ IJ f~nd, где д = U№ \ int Si).
n> О г
(d) Существует такое число d < оо, что card7r_1a; -? d при всех х Є Cl.
(e) Если отображение / топологически (+)-транзитивно {соответственно, перемешивает), то сдвиг т транзитивен (соответственно, перемешивает).
Все это можно непосредственно получить из теоремы 7.6 (в доказательстве утверждения (е) нужно воспользоваться замечанием 7.27(b)).
7.31. Приложения
Пусть / — растягивающее отображение пространства Cl и А — действительная непрерывная функция. Определим отображение J?A ¦ ^(Cl) і—> c^l(Cl) равенством
(XaB)(X)= ]Г еА{у)В(у).
V- fy = x
Обозначим через D массивное множество точек пространства Cl, для которых отображение 7г~1 однозначно определено. Если 7г^ Є D, то
(seAB)(TrO= E еЛоАп)в о Kv) = (Se(BoirM),
ij: Tri=S,
где !? — некоторый оператор на пространстве ). Этот оператор того же
