Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Термодинамический формализм" -> 5

Термодинамический формализм - Рюэль Д.

Рюэль Д. Термодинамический формализм — Ижевск, 1995. — 281 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriteciskieformati1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 84 >> Следующая


Математика, скрытая в термодинамическом формализме, состоит из общепринятых методов и специальной техники. Мы ограничимся в данной монографии рассмотрением этих методов и надеемся, что дополнение по специальной технике будет издано позже. Мы будем считать, что результат не является общим, если он подразумевает, что пространство конфигураций представимо в виде Q = П Qji, где Qji — конечное множество «значений спина» в узле решетки х. Таким образом, группа общепринятых методов имеет замечательную единицу. В качестве специальной техники упомянем корреляционные неравенства, метод интегральных уравнений, циклическую теорему Ли-Янга и метод Пауэрлса. Эта техника выглядит в какой-то степени обособленной от общей точки зрения, принятой в данной монографии, но часто бывает крайне элегантной. С ее помощью в различных ситуациях удается получить ряд частных результатов, представляющих тем не менее огромный интерес для физиков.

0.2. Описание термодинамического формализма

Содержание этого параграфа логически не связано с дальнейшими главами. Мы приведем здесь, с целью мотивировки и ориентации, некоторые идеи и результаты термодинамического формализма3. Читатель может просмотреть бегло этот материал или вообще пропустить его.

I. Конечные системы

Пусть Q — непустое конечное множество. Для вероятностной меры а на Q определим энтропию

S(cr) = - ^o-(C)Iogo-(C),

3 Отчасти мы следуем работам Семинара Бурбаки, отчет 480.
0.2. Описание термодинамического формализма

21

где t Iogt = 0, если t = 0. Для функции С/: Г2 —^ IR определим действительное число Z, называемое статистической суммой, и вероятностную меру р на Q, которая называется гиббсовским ансамблем

Z = Y^eM-U(O), Pit) = Z-1VWi-Uit)). (0.1)

?єп

Предложение (вариационный принцип). Максимум выражения1

S{a) *iU)

по всем вероятностным мерам a HaQ совпадает с log Z и достигается на единственной мере а = р.

В физических приложениях Q интерпретируется как пространство конфигураций конечной системы. Принято писать U = (ЗЕ, где ЕЦ) является энергией конфигурации S1 и /3 = I/кТ, где T — абсолютная температура и к — множитель, известный как постоянная Больцмана. Проблема, почему гиббсовский ансамбль описывает тепловое равновесие (по крайней мере, для «больших систем»), когда мы заменяем величину U на [ЗЕ, достаточно не проста и до сих пор полностью не выяснена. Заметим, что энергия E может зависеть от физических параметров, называемых «магнитным полем», «химическим потенциалом» и т. д. Заметим также, что при традиционном определении энергии ставят знак минус в ехр{—/ЗЕ), который на практике является небольшим нюансом. В дальнейшем мы будем пропускать множитель /3 в определении U и будем называть эту величину энергией. Из всего вышесказанного мы должны уяснить, что гиббсовский ансамбль является интересным объектом для исследования при переходе к пределу «больших систем».

Термодинамический формализм изучает меры, похожие на гиббсовский ансамбль р в известном предельном переходе, при котором пространство Q становится бесконечным, но при этом появляются некоторые дополнительные структуры. По аналогии с вариационным принципом указанного выше предложения можно определить равновесные состояния (см. II ниже), а по аналогии с определением (0.1) можно ввести гиббсовские состояния (см. III ниже).

4Мы будем писать и (U) = Yl ст(?)^(0 или> в общем случае, с (U) = JU(?)cr(d?).
22

Глава О

II. Термодинамический формализм на метрическом компактном множестве

Пусть Q — непустое метрическое компактное пространство и х —>¦ тх — гомеоморфизм аддитивной группы Ziy (и 1) в группу гомеоморфизмов пространства Q. Будем говорить, что гомеоморфизм т является разделяющим, если для некоторой метрики d, совместимой с топологией Q, существует такое 5 > 0, что

Определение давления. Если 21 = (21*), ® = (fBj) — покрытия пространства Q, то по определению покрытие 21 V ® состоит из множеств 21 і р| Qbj. Очевидно, это определение распространяется на любое конечное семейство покрытий. Положим

где diamSli является диаметром множества diam2li относительно метрики d на пространстве Ql.

Определение давления, которое будет сейчас дано нами, человеку, незнакомому с предметом, покажется непростым и неестественным. Однако это не должно пугать читателя: в дальнейшем оно даст нам возможность коротко сформулировать утверждения основных теорем статистической механики. Кроме того, это определение встретится только в главе 6, где мы введем его после дополнительных приготовлений.

Обозначим через cS = cS(Ql) пространство непрерывных действительных функций на Q. Пусть А Є lTo, 21 — конечное открытое покрытие пространства Q и Л — конечное подмножество Ziy. Положим

Z\(A, 21) = min : (fBj) — подпокрытие 21Л

Если a1, ..., av — положительные целые числа, то положим а =

= (a1, ..., av) и

Л(а) = {(ж1, • • •, xv) Є Zly : 0 < X1 < а1 при і = 1, ..., и}.

(d(rxS, тх7]) < 8 при всех х) => (S = rj).

т~х 21 = (т~х%), 21л = \J т~х21, если Л є Ziy,

шЄЛ

diam 21 = sup diam 21 і ,
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed