Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
card[{a;} П Fix/”] = Sj cardf^ 1IxInFixr"
7.23. Дзета-функции
Рассмотрим формальный степенной ряд
Ф) =Cfiz) =ехр]Г IFixfnIjjr.
U= 1
В силу предложения 7.22
OO
п=1
Нетрудно проверить, что
7.23. Дзета-функции
173
и, следовательно,
c(z) = п^рм-м1 - zti))]si = njdet(i - zti)]~si.
г г
Отсюда видно, что Ct имеет ненулевой радиус сходимости и продолжается до рациональной функции переменной z.
Более общим образом, для А Є cS положим
OO П— I OO
С/(^)=ехр?^ Yj ехр Yj MfkX) = ехр Y Zn{A)^.
п = 1 ccGFix fn k=O п=1
При A = O это сводится к (-функции, определенной выше. В общем случае ряд
OO
Y ~Т1
Ez^-4Iir
П = 1
в силу (7.11) сходится при \z\ < е~р(Л\ Таким образом, функция z (f(zeA) является аналитической и не обращается в нуль в области \z\ < е-р(А\
Заметим, что (f(zeA) есть произведение функций
Па — 1
Слп«(*еА|П“) = Cr4a., (г"“ ехр ? AofmIfla^,
171=0
по базисным множествам Г2“ спектрального разложения Смейла, так что можно ограничиться случаем, когда система (Г2, /) топологически перемешивает.
В силу предложения 7.22
OO П— 1
С/(^)=ехр?^5> Yj exP YMfkKiO =
п = 1 г ?GFi xrj7 Zc=O
OO п— 1
= П[ЄХрЕ1г Yl exP^I Ао1Тг{ткО\ = П^- (zeAo?ri )Р'-
і п = 1 ?GFi хт" к=О г
Как было замечено выше, множитель
ЫгеА°*<)]“
аналитичен и не обращается в нуль при \z\ < е-р(АожЛ,
174 Глава 7
В силу теоремы 7.9 P (А о 7Гі) = P(A). Если і ф 1, то (см. теорему 7.6(d))
Zn (А от) ^d- Zn(A^iVti)
и P(А о TTi) ^ P(AlTriVti). Так как TTiVti — замкнутое /-инвариантное подмножество пространства Г2 и TTiVli ф Vt (см. предложение 7.22(c)), отсюда вытекает, что P(AlTTiVt) < P(A) (см. следствие 7.10(b)).
7.24. Теорема
Пусть (Vt, /) топологически перемешивает и А Є cIoa(Vt). Тогда существует такое R(A) > ехр[—P(A)], что функция z і—> ((zeA) мероморфна, не обращается в нуль и имеет только один полюс в круге {z: \z\ < І?(А)}. Этот полюс находится в точке z = ехр[—P(A)] и его порядок равен единице.
Утверждение достаточно доказать для (T(zeAow) вместо (f(zeA), но это уже было сделано в теореме 5.29.
Заметим, что для общего пространства Смейла Vt и функции А Є c^a(Vt) существует такое R(A) > ехр[—P(A)], что функция z C,(zeA) мероморфна в круге {z: \z\ < Д(А)}, не обращается там в нуль и имеет полюса только в точках ехр[—P(A) + 2ттik/d\, к = 0, ..., d — 1, где d Є N.
Заметим также, что в общем случае функция z н-> C,(zeA) не обязана иметь мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость С (см. замечание 5.30).
7.25. Следствие
Пусть (VI, /) топологически перемешивает. Тогда
(а) Если А Є Чоа(VI), то ряд
OO OO
Y Zn(A)Zn -YenP(A)zn
71=1 П = 1
сходится при \z\ < R(A) и, следовательно,
Zn(A)e-np^ _ і при п —> оо сходится к нулю с экспоненциальной скоростью.
7.26. Растягивающие отображения 175
(Это утверждение усиливает пункт (а) теоремы 7.20 в случае, когда
А е ^a(Cl).)
(Ь) Функция z н-> ((г) продолжается до рациональной функции на С, у которой в точке z = ехр[-P(O)] (где P(O) — топологическая энтропия) имеется простой полюс, а все остальные полюса и нули строго больше по абсолютной величине, чем е~р(°\
7.26. Растягивающие отображения
Пусть Г2 — компактное метрическое пространство с метрикой d и / — непрерывное отображение пространства Г2 на себя5. Будем называть отображение / растягивающим, если существуют ? > ОиЛ е (0, 1)со следующим свойством:
(E) Если d(fx, у') < 2е, то найдется единственное у, для которого
fy = у', d(x, у) < 2е и, кроме того,
d(x, у) < Xd(fx, fy).
Из (E) вытекает, что
d{fx, fy) ^ \~1d(x, у),
как только d(x, у) < 2\е.
Определим отображение
7: {(ж, у1) Є Cl X Cl: d(fx, у1) < є} н-> Cl
условиями:
fl{x, у') = у', d(x, l{x, у')) < 2є-
В силу свойства (E) они определяют 7 однозначно, причем
d(x, 7(ж, у')) < Xd(fx, у').
Кроме того, отображение 7 непрерывно. [Пусть (ж, у') н-> (жо, у'0) и j{x, У') = У, 7(жо, Уо) = Уо• Тогда
d{yo, у) < d{y0, х0) + d(ж0, ж) + d(ж, у) < 2\є,
5Ecjth / не является сюръективным, то заменим Гі на р| fnQ.
п>0
176 Глава 7
так как d(yo, xq) + d(x, у) < \d(fxо, y'0) + \d(fx, у') < 2\є и d(xо, x) как угодно мало. Отсюда в силу (E) следует, что d(yo, у) ^ Лd(yr0, у') —> 0.] В частности, / является локальным гомеоморфизмом (и, следовательно, открытым отображением).
Положим
О — {(^n)n?• Ж„ Є S~2, f хп—і — при всех ті},
^(^•n) = (/^n); f (х„) = (хп — l), TT^Xn) = Xo-
Это согласуется с определением Г2, т и 7Г в § 6.17. Множество SI является компактным метрическим пространством с метрикой
d((xn), (уп)) = sup\^d(xn, уп),
п^-0
а отображение f — гомеоморфизмом этого пространства, причем /тт = = ттї, где тт — непрерывное открытое отображение пространства Si на пространство SI.
Если d((xn), (уп)) < є, определим (zn) = [{хп), (уп)} условиями Z0 = = хо и d(zn, уп) < є для всех п. Эквивалентное определение:
ZO = ^Cb Zn-1 = 7(Уп— I, Zn).
Отображение [•, •] непрерывно, поскольку непрерывно 7. Легко видеть, что для него выполняются условие (SSI); (SS2) (с 6 = є) также справедливо. Это же можно сказать и об условии (SS3) из параграфа 7.11, так как
