Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
При доказательстве утверждения (Ь) можно предположить, что О — достаточно малая окрестность точки х, затем использовать (а) и проверить, что факторизация меры р0 вблизи точки х переходит в факторизацию вблизи точки f>x при естественных отображениях V^z —> V^x.
7.18. Гиббсовские состояния
Пусть А Є ^a(Ct) и (О, ср) — сопрягающий гомеоморфизм. Определим функцию g: О —> R равенством
OO
g(Z)=exр X [A(fk<pz)-A(fkz)}.
k= — oo
Так как d(fkz, fk<fz) равномерно стремится к нулю с экспоненциальной скоростью, функция g непрерывна. Назовем вероятностную меру гг па О гиббсовским состоянием для А, если
f(g ¦ (<т|0)) = cr\fO
для всех сопрягающих гомеоморфизмов (О, if). Эта формула означает, что f переводит ограничение меры сг на О, умноженное на д, в отображение сг на fO.
Если сг —равновесное состояние для А, то оно является и гиббсовским состоянием для А. [Так как мера сг /-инвариантна, ее носитель содержится в неблуждающем множестве (см. § 7.4). Мы также знаем, что точка, сопряженная с точкой из базисного множества, содержится в том же базисном
170
Глава 7
множестве (см. предложение 7.16(b)). Поэтому наше утверждение достаточно доказать для случая, когда система (Cl, /) топологически (+^транзитивна. При этом предположении оно справедливо для A = 0 (теорема 7.17(b))
и, значит, в силу следствия 7.13(b), — для любой функции А Є cSa(Cl).]
7.19. Периодические точки
Обозначим через Fix / множество неподвижных точек отображения F. Для любой непрерывной действительной функции А на Cl и любого натурального п определим статистическую сумму
П— 1
Zn(A)= ехр A(fkx).
x^Fix/'1 к=0
Так как / разделяет траектории с разделяющей константой <5 (см. § 7.3), множество Fix/™ является ([1, п], 5)-разделенным.
Пусть (Г2, /) топологически перемешивает. Тогда для любого а > 0 найдется такое т, что если х, у Є Cl, то существует z Є Cl, для которого
d(y, z) < a, d(x, fmz) < а.
[Покроем пространство Cl конечным числом шаров радиуса а/2, центрами которых служат некоторые периодические точки уі. Все у і принадлежат множеству Fix fN при некотором N > 0. Так как множество IJ fnNV~ (а/2) всюду плотно в Г2 (см. предложение 7.16(b)), су-
о
ществует такое п, что каждая точка х Є Cl находится на расстоянии < а
от множества fnNV~ (а/2) при каждом г.] Поэтому, пользуясь утвержде-
ниями (а) и (Ь) параграфа 7.3, можно выбрать такое то, что если п > т и х Є Cl, то существует х' Є Fix/", для которого d(fkx, fkxr) < 5 при всех к Є [1, п — т\. Другими словами, множество Fix/" является ([1, п — т], 5)-плотным.
Поскольку для перемешивающего / множество Fix /" одновременно является ([1, п], <5)-разделенным и ([1, п—т], <5)-плотным, из параграфа6.7 следует, что если А Є cS, то
п — 1
P(A)= Iim ^log V ехр V A(fkx).
п—>оо 10 zJ z^
xeFi х/77 к=О
7.20. Теорема 171
Без предположения о перемешивании из спектрального разложения Смейла получаем равенство
п — 1
1
)
Tl—>оо
P(A) = Iimsup — log exp A(fkx). (7.11)
x^Fi Xк=0
7.20. Теорема
Пусть (Г2, /) топологически перемешивает. Тогда
(a) Функции Pn, определенные на пространстве 43 = c^(Cl) равенством
п — 1
-Pn(A) = ^lOg Y еХР^А(-^Ж)’
a:GFi х/п /с=0
поточечно сходятся к P(A) при п —> оо.
(b) Определим /-инвариантную вероятностную меру сгп с носителем в Fix/", положив для любого у Є Fix/"
га —I
exp X) A(/fey)
г ^ k=0
=-------------^ri--------¦
E exp E A(fkx)
x^Fix fn k=О
Если для функции А существует единственное равновесное состояние рА, то при п —> оо последовательность {сгп} слабо сходится к рА. В частности, такая сходимость имеет место, когда функция А — гельдеровская или когда она удовлетворяет условию (S) из параграфа 7.14.
Утверждение (а) было доказано выше. Так как
j-gPn(A + sB) |s=0 = CTn(B)1 ?р(А + sB) |s=0 = Pa(B)1
утверждение (b) следует из (а) и выпуклости функционалов Pn.
7.21. Изучение периодических точек методами символической динамики
Периодические точки отображения / можно изучать с помощью символической динамики. Действительно, точка ? G О периодична тогда и
172
Глава 7
только тогда, когда периодична точка тт? (правда, не обязательно с тем же периодом): это немедленно следует из теоремы 7.6(d). Известно также, что если точка irS = щ периодична и Sо = Щ, то S = V (Боуэн [2], предложение 12).
Существует конечное число Ъ-решетчатых систем (Oj, ti), которые отвечают сдвигам Ti, действующим на пространствах Oj, а также непрерывные отображения Cli ^ Cl и числа Sj = ±1 такие, что
(a) и і удовлетворяет условию Липшица и и і ті = /щ.
(b) Существует одно значение индекса г, скажем, і = 1, для которого Si = +1 и п, O1, пі являются соответственно сдвигом т, пространством О и отображением 7г, ассоциированными с некоторым марковским разбиением.
(c) Если г ф 1, то 7TjOj ф Cl.
(d) Для каждого х Є Cl
Сдвиги Ti явно построены Мэннингом в [1] так, что имеет место (d); (а), (Ь), (с) вытекают из построения (в связи с (а) см. § 7.7).
7.22. Предложение