Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
(S) Существуют такие 5 > 0 и К > 0, что если d(fkx, fky) < 5 при к = 0, 1, ..., п, то
Tl Tl
X A(/fex)-X A(/fey) ^k.
к=0 к=О
Боуэн [5] получил следующее условие единственности равновесного состояния:
Если гомеоморфизм f: Cl н-> Cl разделяет траектории и удовлетворяет условию спецификации, а функция А Є ^(Cl) удовлетворяет условию (S), то А имеет единственное равновесное состояние.
В случае пространств Смейла спецификация вытекает из перемешивания, что можно установить при помощи символической динамики (см. теорему 7.6(e)). Таким образом, справедливо следующее утверждение:
Если (Cl, Z) — топологически (+)-транзитивное пространство Смейла и функция А Є (Cl) удовлетворяет условию (S), то для А существует ровно одно равновесное состояние.
(Случай топологической (+)-транзитивности сводится к случаю перемешивания.)
Для любого А Є (Cl) положим
уагИі s А = sup{|A(y) — А(х) \: d(fkx, fky) < 5 при \k\ ^ п}.
OO
Предположим, что Y varK, <5 А < оо. Тогда функция А удовлетворяет уело-
71=0
OO
вию (S) с if = 2 Y var«, <5 А. В случае пространств Смейла это имеет
71=0
место, если А — гельдеровская функция (поскольку d(x, у) < CXa, если d(fkx, fky) < 5 при \k\ < п (см. §7.3)).
7.15. Сопряженные точки и сопрягающие гомеоморфизмы 167
В частном случае Z-решетчатых систем (см. пример 7.2) функция Аф удовлетворяет условию (S), если Ф Є S§1.
7.15. Сопряженные точки и сопрягающие гомеоморфизмы
Пусть, как и раньше, Cl — пространство Смейла. Будем говорить, что точки х, у Є Cl сопряжены, если
Iim d(fkx, fky) = 0.
I k I —^OO
Тогда найдется такое п > 0, что
Гу е v+x{5), Гпу є Vrnx(S)
и для z из некоторой окрестности О ТОЧКИ X можно положить
4>z = [/-"[/"[*, *], Гу], Г1ГпУ, Гп[х, г]]].
Очевидно, (рх = у и
(a) отображение ip непрерывно в О;
(b) Iim d(fkz, fkipz) = О равномерно по z.
I k I —>оо
Пару (О, ер) со свойствами (а) и (Ь) будем называть сопрягающим отображением. Пусть (O', ip') — другое сопрягающее отображение, для которого у Є O', ip'y = х. Тогда и (On^-1O', if'if) является сопрягающим отображением и, как видно из (a), (b), ip'ip — тождественное отображение в некоторой окрестности точки х. Поэтому О можно заменить меньшей окрестностью точки х так, чтобы в этой окрестности ip было бы гомеоморфизмом. В этом случае мы будем называть (О, ip) сопрягающим гомеоморфизмом.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Если х и у сопряжены, то существует такой сопрягающий гомеоморфизм (О, <f), что х Є О, ipх = у. Пусть (О, if), (O', if') — сопрягающие гомеоморфизмы. Если О П ір~хО' ф 0, то (О П f~x0', ip'ip) — сопрягающий гомеоморфизм. Если х Є О П 0' и ipx = f'x, то ip = ip' в некоторой окрестности точки х.
7.16. Предложение
(а) Если х — неблуждающая точка и точка у сопряжена с х, то и у — неблуждающая точка.
168 Глава 7
(b) Если х Є Clal3, то Clal3 — замыкание множества точек, сопряженных с х.
При доказательстве утверждения (а) мы можем предполагать, что х — периодическая точка (это не ограничивает общности в силу существования сопрягающих гомеоморфизмов (§ 7.15) и леммы Аносова о замыкании (§7.3)). Пусть х имеет период р ж О — окрестность точки у. В силу (7.4) можно выбрать число 84 настолько малым, что
V+(5) П V-(S) ф 0
при d(u, v) < 84. Возьмем произвольно большое т > О, для которого
d(fmPy, х) < 84/2, d(f-mPy, х) < 84/2
и в силу (SS2)
rmpvf-,Py(8) с О, ImpV^py(S) с О.
Тогда
Гро П гтр0 D Vfmpy(S) П Vpmpy(S) ф 0,
что и доказывает утверждение (а).
Множества Clal3 удалены друг от друга на положительное расстояние и инвариантны относительно fN при подходящем N > 0. Следовательно, если у сопряжено с ж Є ClaP, то у Є SlaP, так как Iim d(fkNx, fkNу) = 0.
I k I —^oo
Чтобы доказать (Ь), достаточно проверить, что множество точек, сопряженных с х, всюду плотно в Slr'3. Точки х, у G Clal3 сопряжены, если и только если Iim d(fkn"x, fkn"y) = 0, т. е. если и только если они сопряжены
для ($1°'3, /”“). Поэтому достаточно доказать, что точки, сопряженные с х, всюду плотны в Г2, если отображение / топологически перемешивает. Очевидно, это верно, если точки, сопряженные с ?, где 7г? = х, всюду плотны в О. Ho последнее есть свойство (D*) из замечания 1.14, которое имеет место потому, что система (Ось t) перемешивает (теорема 7.6(e)).
7.17. Теорема
Пусть система (Г2, /) топологически (+)-транзитивна и р0 — f-инвариантная вероятностная мера, на которой реализуется максимум энтропии (мера Боуэна). Тогда
7.18. Гиббсовские состояния 169
(a) Для всякого х Є Cl существуют положительные меры сг~ и сг+, определенные на Vx (S) и Vx (S) соответственно и такие, что отображение [•, •]: Vx(S) X V^(S) —> Г2 переводит произведение сг~ х сг+ в ограничение меры р0 на множество [VraT (<S), Vx (<5)].
(b) если (О, f) — сопрягающий гомеоморфизм, то f переводит ограничение меры р0 на О в ограничение р0 на if О:
lP(PolO) = p0\f О.
Утверждение (а) доказано Синаем [1], а также Рюэлем и Салливеном [1, теорема 1.1]. Оно связано с тем, что р0 = ттро, где (р0, т) — перемешивающий марковский процесс, если отображение (Г2, /) топологически перемешивает (теорема Пэрри: Пэрри [1]).