Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
р[TT-1 П Гд+) = ^(V1 П Гпд-) = 0.
0 О
Отсюда следует, что
^(тг-1^+) = ^(тг-1^-) = 0
и, значит,
Pin-1U Г(д+U 0-))=0.
п?.Ъ
Теорема 7.6(c) позволяет теперь утверждать, что п: (О, р) (Г2, ттр) изоморфизмом абстрактных динамических систем. В частности,
Iif(Kp) = hT(p)
и, следовательно,
Pf(A) > hf(np) + (np) (A) = Pr(Aon).
Сравнение с (7.9) показывает, что
Pf(A)=Pr(Aon) (7.10)
и пр — равновесное состояние для А.
7.9. Теорема 163
Если сг — какое-либо равновесное состояние для А, то существует т-инвариантное состояние сг, для которого тта = сг (это вытекает из теорем Хана-Банаха и Маркова-Какутани, см. приложения А.3.2 и А.3.4). Тогда
РТ(А о 7г) > hT(a) + а (А о 7г) > hf(a) + cr(A) = Pf(A)
(см. упражнение 3(a) главы 6). Следовательно, а является равновесным состоянием для А о 7г, а потому а = р.
Заметим, что в силу плотности множества c^a(Cl) в c^(Cl) равенство (7.10) остается справедливым для любой функции А Є '(!{Cl). Таким образом, доказано следующее утверждение.
7.9. Теорема
Если (Cl, /) — топологически (+)-транзитивная система и А Є c^(Cl),
то
Pf(A)=Pr(Aon).
Для А Є ^a(Cl) существует единственное равновесное состояние рА = = тгр, где р — единственное равновесное состояние для функции А о 7г. Отображение тг : (Cl, р) —> (Cl, рА) порождает изоморфизм абстрактных динамических систем.
Приведем несколько следствий.
7.10. Следствие
Пусть (Cl, /) — топологически (+)¦-транзитивная система. Тогда
(a) Функция Pf вещественно-аналитична на (Cl).
(b) Если А Є 4?а(С1), то supppA = Cl.
(c) Пусть А, А! Є ^a(Cl). Тогда рА = рА,, если и только если существуют с Є M и непрерывная функция С, для которых
A' -A = с + С о f -С
(этим равенством с определяется однозначно, а С — с точностью до аддитивной константы).
(d) Если А Є (Cl) и (Cl, /) топологически перемешивает, то система (рА, /) изоморфна сдвигу Бернулли.
164
Глава 7
Утверждение (а) вытекает из следствия 5.27, (b) — из следствия 5.6(a),
(с) доказывается так же, как теорема 5.7 (см. (а) и упражнение 2); (d) следует из теоремы 5.10.
7.11. Замечание
Функция С из следствии 7.10(c) является гельдеровской: С Є cSa («). если выполняется следующее условие (см. упражнения 2 и 3):
(SS3) существует такое L > 0, что
d(x, [х, у]) < Ld(x, у).
Ниже это условие используется только в тех случаях, когда оно явно формулируется. Заметим, что ему удовлетворяет динамическая система примера 7.2.
Вот другие следствия теоремы 7.9.
7.12. Следствие
Предположим, что (VI, /) топологически перемешивает. Фиксируем а Є (0, 1) и для А, Bi, ..., Bi Є cSa(Q) введем обозначение
¦ ¦¦¦ =+?ал) L...
г = 0
В частности, -D1(Si) = Pa(Bi)-
(a) Для всякого M > 0 найдутся такие а, b > 0, что
IpA(Bi • (B2Ofk)) - pa(Bi)pa(B2)| < еа~ь^\\Ві\\а\\В2\\а,
если ||А||а (К • ||а — норма в пространстве cSa(Vl)).
(b) D?(Bi, B2) = Y \pA(Bi ¦ (B2 о fk)) - Pa(Bi)Pa(B2)].
k^zZ,
(c) Bi і—> D2(Bi, Bi) является положительной полуопределенной квадратичной формой на cSa(Vl). Если выполнено условие (SS3), то ее ядро имеет вид {с + Cof- С: с Є R, С Є cSa(Vl)). Существует такое R > 0, что
[D2(BuBi)]1/2 ^R\\Bi\\a.
7.13. Следствие
165
(d) При всех р Є К. mod 2іг
е-грк[рА{Вг ¦ (B1 о fk)) - Pa(B1)Pa(B1)] > 0.
k&Z
(e) (Центральная предельная теорема4.) Пусть
Ba = IAr1/2 ^[B1 о f -Pa(B1)], fee л
где Л — конечный интервал на Z. Обозначим через 7 вероятностную меру на М, которая имеет плотность (1 /л/2ттЛ)е~г I2d (гауссовская мера), если D = D2(B1, Bi) > 0, и приписывает единичную массу точке 0 (8-ме-ра <5о), если D2(B1, B1) = 0. Тогдапри |Л| —> оо мера ВАрА слабо сходится к 7.
Все это — переформулировка упражнений 4(e), 5 и 9 главы 5.
7.13. Следствие
Пусть динамическая система (VI, /) топологически (+)-транзитивна и А, В Є ^a(Vl). Положим
ь-1
Z[a, ь] = Pa (exp Y в ° Zfe) •
к=а
Тогда
(a) Iim -J- log Z[0i ь] = Р(А + В)- P(A).
о—а—'оо о — а
6-і
(b) Мера Z^1bJ (exp Y В о fk) ¦ Pa при а —> — 00, b —> оо сходится в
к=а
слабой топологии к рА+в-
Cm. предложение 4.4 и замечание 4.5 для перемешивающих систем. Случай (+)-транзитивных систем рассматривается аналогично.
7.14. Равновесные состояния для негельдеровских
функций
В этом параграфе мы опишем один результат, справедливый для динамических систем несколько более общей природы, чем пространства Смейла.
4Cm. Ратнер [1]; этот результат можно улучшить и обобщить, следуя упражнению 9 главы 5.
166
Глава 7
Пусть Cl — компактное метризуемое пространство и /: Cl Cl гомеоморфизм. Выберем метрику d на Cl. Мы будем говорить, что / удовлетворяет условию спецификации, если для любого <5 > 0 существует такое р(5) > 0, что справедливо следующее:
для любых интервалов Лі, ..., An С Z, содержащихся в [а, Ъ] и удовлетворяющих условию d(Ai, Aj) ^ р(5) при і ф j илюбых Xi, ..., хп є Cl,
существует такая точка х Є Cl, что
fb-a+p(S)x = х
d(fkx, fkXi) < 5 при к Є Ai.
Пусть А — непрерывная действительная функция на Cl. Сформулируем следующее условие:
