Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Неблуждающее множество системы (Cl, /) является объединением конечного числа непересекающихся компактных множеств Г2“, для которых /Па = Па и ограничение /|Г2“ топологически (^-транзитивно^.
Каждое Cla есть объединение па непересекающихся компактных множеств Па/3, циклически переставляемых отображением / и таких, что fna J Qal3 топологически перемешивает.
Этими свойствами ft, а, па и Qal3 определяются однозначно.
(Cm. Боуэн [6], теорема 3.5.) Приведенное утверждение частично обобщает теоремы 5.2 и 5.3, относящиеся к Z-решетчатым системам. Заметим, что неблуждающее множество системы (Cl, /) и множества снова являются пространствами Смейла, а множество — пространством Смейла относительно /п"|Г2а/3.
Множества называются базисными множествами. Носитель всякой /-инвариантной меры на Г2 содержится в неблуждающем множестве. В частности, каждая /-эргодическая вероятностная мера имеет носитель в одном из базисных множеств.
7.5. Марковские разбиения и символическая динамика
Пусть 8 > 0 достаточно мало и і Є О. Предположим, что множество С С V3T(S) является замыканием своей внутренности в VaT (28), а множество D С Vj~ (S) — замыканием своей внутренности в Vj~ (2S). Тогда R = [С, D] является замыканием своей внутренности в Cl и называется прямоугольником. Его граница имеет вид
dR = д+R U d-R,
где
d+R = [дс, D], d-R = [С, OD}
и дС, dD — границы множеств ChDb V3T (28) и V3^ (25) соответственно.
Марковским разбиением называется такое конечное покрытие (?) пространства Г2 прямоугольниками, что
(a) int Ri П int Rj = 0 при і ф j;
3Cm. определение топологических (+)-транзитивности, транзитивности и перемешивания в приложении А.2.
160 Глава 7
(b) если х Є int Ri П /-1int Rj, то
f[Cu х] D [Cj, fx],
f[x, Di] C [fx, Dj],
где Сі, Di определяются из соотношений Ri = [Сі, Di], Rj = [Cj, Dj].
Пространство Смейла SI обладает марковским разбиением произвольно малого диаметра (см. Боуэн [1] или [6], теорема 3.12).
Для любого марковского разбиения (Ri) положим
д+ = Ijd+Rl, д- = IJd-Rt.
і і
Можно показать, что
/9+ Cd+, J-1O- Cd-.
Пусть Oo — множество прямоугольников Ri в марковском разбиении. Положим
Г 1, если int Ri П /-1IntRj 0,
tRiRj = <,
IOb противном случае.
Множество Oo (множество символов) и матрица t (матрица переходов) определяют Z-решетчатую систему (Оо, t) (см. главу 5) с пространством конфигураций О и сдвигом т на нем. Динамическая система (О, т) служит символической динамикой динамической системы (SI, /). Такая терминология оправдывается следующими результатами, справедливыми для марковского разбиения достаточно малого диаметра.
7.6. Теорема
Если ^ — {Си}О, то П /¦ 'n^n состоит из единственной точ-
ки 7г(?) Є Г2. Кроме того,
(a) отображение 7г: О і—> непрерывно и сюръективно;
(b) 7Г о т = / о 7г;
(c) 7г~1 однозначно определено на массивном множестве
si\ U Г(д+ и д-у,
7.7. Гельдеровские функции 161
(d) существует такое целое d, что TT-1X для любой точки х состоит не более чем из d элементов;
(e) если гомеоморфизм / топологически (+)-транзитивен (соответственно, перемешивает), то система (Оо, t) является транзитивной (соответственно, перемешивающей).
По поводу утверждений (а), (Ь), (с), (е) см. Боуэн [1] (§4) или Боуэн [6] (теорема 3.18 и предложение 3.19), по поводу утверждения (d) — Боуэн [2] (предложение 10); в качестве d можно взять |Oo |2 (Р. Боуэн, устное сообщение).
7.7. Гельдеровские функции
Утверждение (а) теоремы 7.6 можно уточнить. Если число X, использованное в (7.7) для определения метрики на VI, совпадает с X из условия (SS2) для VI, то отображение тт удовлетворяет условию Липшица, т. е. существует такое С > О, что
d(ir?,, ttvi) < Cd(?, rj). (7.8)
Если ? ф г], то d(?, rj) = Xа при некотором п > 0 и ?*. = Щ при \к\ < п. Предположив, что диаметр марковского разбиения меньше <5, получим
d(fkTr?,, fkTtrj) < 5 при \к\ < п,
и, следовательно,
d(7г?, ТТ7]) < CXn
(см. § 7.3). Отсюда следует (7.8).
Поскольку тт удовлетворяет условию Липшица, для любой функции А Є cSa(Г2), т. е. любой гельдеровской функции с показателем а на пространстве Vt выполняется включение А о тт є cSa(Q) = , где в = А“/2
(см. § 7.2). Таким образом, тт порождает ограниченное линейное отображение cSa(Vl) SEe.
7.8. Давление и равновесные состояния
Изучение давления и равновесных состояний можно свести к аналогичной задаче для базисных множеств (см. §7.4 и упражнения 3(c) и 4
162 Глава 7
главы 6). Поэтому мы можем предположить, что система (Cl, /) обладает свойством топологически (+)-транзитивности. Заметим, что
Pf(A)^Pr(Aon) (7.9)
(см. упражнение 3(b) главы 6).
Пусть А Є cZoa(Q) и система (Cl, /) топологически (+)-транзитивна. Так как Aon Є ЗР®, где в = А“/2, существует единственная т-инвариантная вероятностная мера р на О, для которой
К(р) + р(А о 7г) = Pr (А о п)
и, кроме того, supp р = Vt (см. следствие 5.6(a)). Множества
TT-1 П /”9+. П ^Пд~
0 О
замкнуты и т-инвариантны. Их дополнения непусты и, следовательно, имеют положительную /V-меру. Используя эргодичность р, получаем
