Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
7.1. Пространства Смейла
Пусть Cl — непустое компактное метрическое пространство с метрикой d. Предположим, что число є > 0 и отображение [•, •] обладают следующими свойствами:
(SSl) [.,.]; {(Х; у) eftxft: d(x, у) < є} -S- п
представляет собой непрерывное отображение, для которого [ж, х] = х и {[х, у\, Z} = [х, z], [х, [у, zj] = [х, z],
если правая и левая части этих соотношений определены.
156 Глава 7
Заметим, что существует такое єи>0, что если diam({xi, ..., хп})<єп, то любое выражение, полученное из Xi, ..., хп расстановкой вложенных друг в друга квадратных скобок, определено и равно [xi, X11 \.
Пусть, в частности, d(x, у) < Є4. Если мы пишем и = [у, х], v = [х, у], то считаем, что
d(u, х) < є, d(v, х) < є, d(u, V) < є,
1 г I Tl (7'1)
U = [и, X\, V = [X, V], [и, v\ = у.
Обратно, если и, v удовлетворяют этим условиям, то и = [и, х] =
= [[и, v\, х\ = [у, х\ и, аналогичным образом, v = [х, у]. Отсюда следует,
что отображение [•, •]: V3T(S) х V+(5) н-> Г2, где
V~(5) = {и: и = [и, х], d(x, и) < (5}, (7-2)
Vj~(5) = {v: V = [х, v], d(x, v) < <5} (7.3)
и 8 выбрано так, что если d(x, и) < 5 и d(x, v) < 5, то d(x, [и, v]) < ?4,
является гомеоморфизмом на некоторое открытое подмножество пространства П.
Если d(x, у) < є4, то в силу (7.1), (7.2), (7.3)
{[я, У}} = K(S) П Vy (5). (7.4)
Предположим теперь, что заданы Л Є (0, 1) и отображение / со следующими свойствами:
(SS2) / — гомеоморфизм пространства Cl, для которого f[x, у] = = [fx, fy\, если обе части этого равенства определены, и
d(fny, fnz) < Лnd(y, z), если у, z Є V+(5), п > О,
d(f~ny, f~nz) < And(y, z), если у, z є V~{5), n > 0.
Заменяя при необходимости <5 меньшим числом, получим
V3^(S) = {у - d(fnx, Гу) < 5 при всех п > 0}, (7.5)
V3T(S) = {у: d(f~nx, f~ny) < 5 при всех п > 0}. (7.6)
[В самом деле, выберем такое 8', что из d(x, у) < 8' вытекает
d(x, [х, у}) <8, d(x, [у, х]) <8.
7.2. Пример
157
Тогда справедливы следующие импликации (каждое неравенство имеет место при всех п > 0):
d(Px, Гу) <5'^ d(Px, Г [у, х]) < 5 => Г [у, я] є Vfax(S) =>
=4> d(x, [у, х]) < \nd(fnx, fn[y, ж]) < XnS =4>
=> d{x, [у, х\) = 0 => у = [[у, х], [х, у}] = [х, [х, у}] = [х, у].
Следовательно,
{у: d(fnx, fny) < 5' для всех п > 0} с Vf (5').
Обратное включение следует из (SS2). Таким образом, мы доказали (7.5) с заменой <5 на некоторое меньшее число 8'. Доказательство соотношения (7.6) проводится аналогично.]
Определим пространство Смейла как компактное метрическое пространство Г2 вместе с отображением [•, •] и гомеоморфизмом /, удовлетворяющими условиям (SSl) и (SS2) при подходящих є и Л.
Заметим, что существует естественная двойственность, при которой / переходит в 1, [х, у] — в [у, х\, V+ — в V~ и т.д.
7.2. Пример
Пусть Q — пространство конфигураций Z-решетчатой системы (Оо, t) и т — соответствующий сдвиг (см. главу 5). Для произвольного Л Є (0, 1) определим расстояние d на О равенством
d{t,v)= Xk, (7.7)
где ? = (?„)„ez Є О, г/ = (%)„еZ є о и к = inf{|n|: Sn Ф Vn]-Если d(S, v) < 1> т0 Co = »7о и можно положить
К, f?] = (• • •, v-h ¦ ¦ ¦, v-i, ?о, Zi...) є о.
Нетрудно проверить, что условия параграфа 7.1 выполняются при П = О,
f = T, S = S = 1.
Также легко доказывается, что банахово пространство cSa(О) действительных гельдеровских функций с показателем а совпадает с пространством .^e, в = Xа/2, введенным в параграфе 5.19.
158 Глава 7
7.3. Свойства пространств Смейла
Как видно из (7.5), (7.6), (7.4), / является разделяющим гомеоморфизмом с разделяющей константой <5, если <5 достаточно мало. Более точно, существует такое С > 0, что если d(fkx, fky) < <5 при \к\ < п, то d(x, у) < CXn. [Действительно, положив С = max{diamf2, 2є/А} и пользуясь условием (SS2) при п ф 0, получаем
d(x, [х, у}) < \n~1d(f~n+1x, f~n+1[x, у]),
d{[x, у], у) < \n~1d(fn~1[x, у], Zn-1V).]
Пусть S — конечный или бесконечный интервал1 в TL, х =
= (xk)kes Є f2s и а > 0. Назовем х а-траекторией, если
d(fxk, Xk+i) < а если к, к + 1 Є S.
Будем говорить, что X Є ft а-отслеживает х, если d(fkx, Xk) < а при всех к Є S.
Для всякого (3 > 0 существует такое а > 0, что
(a) каждая а-траектория х [З-отслеживается некоторой точкой х є ft;
(b) если х Є Cl и d(fnx, х) < а, то существует у Є ft, для которого fny = у и
d(fkx7 fky) < P nPu всех к Є [0, п\
(см. Боуэн [6], предложение 3.6 и следствие 3.7.)
Неблуждающее множество системы (ft, f ), определяемое как
{х Є ft: U П и fnU ф 0 для всякого открытого множества U Эх},
п> О
является замыканием множества
{х Є ft: fn х = х, при котором п > 0}
периодических точек.
Это утверждение есть лемма Аносова о замыкании (см. Боуэн [6], предложение 3.82). Заметим, что множество неблуждающих точек непусто (см. приложение А.2).
1S может иметь вид [k, I], [к, +оо), или (—оо, I], или Z.
2Cm. также Нитецки. — Прим. ред.
7.4. «Спектральное разложение» Смейла
159
7.4. «Спектральное разложение» Смейла
